Circuitos aritméticos monótonos

O estado de nosso conhecimento sobre circuitos aritméticos gerais parece ser semelhante ao estado de nosso conhecimento sobre circuitos booleanos, ou seja, não temos bons limites inferiores. Por outro lado, temos limites inferiores de tamanho exponencial para circuitos booleanos monótonos .

O que sabemos sobre circuitos aritméticos monótonos ? Temos bons limites inferiores semelhantes para eles? Caso contrário, qual é a diferença essencial que não nos permite obter limites inferiores semelhantes para circuitos aritméticos monotônicos?

A questão é inspirada em comentários sobre essa questão .

Limites mais baixos para circuitos aritméticos monótonos ficam mais fáceis porque proíbem cancelamentos. Por outro lado, podemos provar limites inferiores exponenciais para circuitos de computação funções booleanas mesmo que qualquer monótonos -real valorizado funções são permitidos como portões (ver, por exemplo Sect 9.6 no. Livro ).$g:R\times R\to R$

Mesmo que monótonos aritméticas circuitos são mais fracos do que monótonos boolean circuitos (neste último temos cancelamentos e ), estes circuitos são interessantes por causa de sua relação com a programação dinâmica ( DP) algoritmos. A maioria desses algoritmos pode ser simulada por circuitos em semirreiramentos oua ∨ ( a ∧ b ) = a ( + , min ) ( + , max $a\land a=a$$a\lor (a\land b)=a$$(+,\min)$$(+,\max)$. Gates então corresponde aos subproblemas usados ​​pelo algoritmo. O que Jerrum e Snir (no artigo de V Vinay) realmente provam é que qualquer algoritmo de DP para o Min Weight Perfect Matching (assim como para o problema TSP) deve produzir exponencialmente muitos subproblemas. Mas o problema do Perfect Mathching não é de "falha no DP" (não satisfaz o Princípio de Optimalidade de Bellman ). A programação linear (não DP) é muito mais adequada para esse problema.

Então, e os problemas de otimização que podem ser resolvidos por algoritmos DP razoavelmente pequenos - podemos provar limites mais baixos também para eles? Muito interessante a esse respeito é um resultado antigo de Kerr (Teorema 6.1 em seu doutorado ). Isso implica que o algoritmo clássico de Floyd-Warshall DP para o problema de caminhos mais curtos de todos os pares (APSP) é ideal : são necessários subproblemas . Ainda mais interessante é que o argumento de Kerr é muito simples (muito mais simples do que Jerrum e Snir usavam): apenas usa o axioma da distributividade e a possibilidade de "matar" min-gates definindo um de seus argumentos como Dessa forma, ele prova queum + min ( b , c ) = min ( um , b ) + min ( um , c ) 0 n 3 n x n ( + , min $\Omega(n^3)$$a+\min(b,c)=\min(a,b)+\min(a,c)$$0$$n^3$as portas de adição são necessárias para multiplicar duas matrizes sobre a semirrada . Na seita. 5.9 do livro de Aho, Hopcroft e Ullman, é mostrado que esse problema é equivalente ao problema do APSP.$n\times n$$(+,\min)$

Uma próxima pergunta poderia ser: e o problema dos caminhos mais curtos de fonte única (SSSP)? O algoritmo de Bellman-Ford DP para esse problema (aparentemente "mais simples") também usa portas . Isso é ótimo? Até o momento, nenhuma separação entre essas duas versões do problema de caminho mais curto é conhecida; veja um artigo interessante de Virginia e Ryan Williams nesse sentido. Portanto, um limite inferior em circuitos para SSSP seria um ótimo resultado. A próxima pergunta pode ser: e os limites inferiores para a mochila? Neste rascunho, os limites inferiores para a mochila são comprovados no modelo mais fraco de circuitos , onde o uso deΩ ( n 3 ) ( + , min ) ( + , max ) $O(n^3)$$\Omega(n^3)$$(+,\min)$$(+,\max)$$+$-gates é restrito; no apêndice a prova de Kerr é reproduzida.

Sim. Conhecemos bons limites inferiores e já os conhecemos há algum tempo.

Jerrum e Snir provaram um limite inferior exponencial sobre os circuitos aritméticos monótonos para a permanente em 1980. Valiant mostrou que mesmo um único portão negativo é exponencialmente mais poderoso .

Para mais informações sobre circuitos aritméticos (monótonos), consulte a pesquisa de Shpilka sobre circuitos aritméticos.

$2k$$k$

Isso conta: os limites inferiores do semi-grupo de Chazelle para problemas fundamentais de busca de alcance (na configuração offline). Todos os limites inferiores são quase ideais (até termos de log quando o limite inferior é polinomial e termos de log de log quando o limite inferior é polilogarítmico).