Decompondo uma função submodular

Dada uma função submodular em que e são disjuntos . Aqui e são submodulares em e respectivamente. $f$ $\Omega=X_1\cup X_2$ $X_1$ $X_2$ $f(S)=f_1(S\cap X_1)+f_2(S\cap X_2)$ $f_1$ $f_2$ $X_1$ $X_2$

Aqui são desconhecidos e apenas um acesso de consulta de valor a é fornecido. Então existe um algoritmo polytime que encontra . Se houver várias opções para qualquer uma delas deve estar correta. $X_1,X_2,f_1,f_2$ $f$ $X_1$ $X_1$

Alguns pensamentos. Se pudermos encontrar dois elementos modo que ambos pertençam a ou pertençam a , podemos mesclá-los e prosseguir recursivamente. Mas não está claro como implementar essa etapa. $t_1,t_2$ $X_1$ $X_2$

ds.algorithms submodularity

— Ashwinkumar BV
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Você quer dizer que onde e são submodulares em e respectivamente?

f (S) = f_{1} (S \cap X_{1}) + f_{2} (S \cap X_{2})

$f(S) = f_1(S \cap X_1) + f_2(S \cap X_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Chandra Chekuri

Sim, eu realmente quis dizer isso. Obrigado por apontar o erro de digitação, eu o corrigirei.

— Ashwinkumar BV 15/11

Não tenho certeza se o que digo abaixo está correto, mas aqui está a idéia. Tome um elemento arbitrário . Se , não é afetado pelo restante dos elementos, para que possamos escolher e . Caso contrário, seja um subconjunto mínimo de inclusivo para inclusão, de modo que . Parece que deve estar na mesma partição e, portanto, podemos reduzir o conjunto em um único elemento e recursar se for estritamente menor que ; caso contrário, concluímos que não existe uma partição desejada.

e \in Ω

$e \in \Omega$

f (e) = f_{Ω - e} (e)

$f(e) = f_{\Omega-e}(e)$

e

$e$

X_{1} = {e}

$X_1 = \{e\}$

X_{2} = Ω - {e}

$X_2 = \Omega-\{e\}$

X

$X$

Ω - e

$\Omega-e$

f (e) > f_{X} (e)

$f(e) > f_X(e)$

X \cup {e}

$X \cup \{e\}$

Ω

$\Omega$

— Chandra Chekuri

Decidiu transformar o comentário em uma resposta.

— Chandra Chekuri

Tome um elemento arbitrário . Se , não é afetado pelo restante dos elementos, para que possamos escolher e . Caso contrário, seja um subconjunto mínimo de inclusivo para inclusão, de modo que . Então deve estar na mesma partição. Se , concluímos que não há partição desejada, caso contrário, reduzimos esse conjunto em um único elemento e recursamos. $e \in \Omega$ $f(e) = f_{\Omega-e}(e)$ $e$ $X_1 = \{e\}$ $X_2 = \Omega-\{e\}$ $X$ $\Omega-e$ $f(e) > f_X(e)$ $X \cup \{e\}$ $X \cup \{e\} = \Omega$

— Chandra Chekuri
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