Definição de expoente de multiplicação de matrizes

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Coloquialmente, a definição do expoente de multiplicação de matrizes é o menor valor para o qual existe um algoritmo conhecido de multiplicação de matrizes . Como não é aceitável como definição matemática formal, acho que a definição técnica é algo como o mínimo em todo tal forma que existe um algoritmo de multiplicação de matrizes em . $\omega$ $n^{\omega}$ $t$ $n^t$

Nesse caso, não podemos dizer que existe um algoritmo para multiplicação de matrizes em ou mesmo , apenas que para todo existe um algoritmo em . Muitas vezes, no entanto, trabalhos e resultados que usam multiplicação de matrizes relatam seu custo simplesmente como . $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $\epsilon > 0$ $n^{\omega + \epsilon}$ $O(n^{\omega})$

Existe alguma definição alternativa de que permita esse uso? Existem resultados que garantem que um algoritmo de tempo ou exista? Ou o uso simplesmente desleixado? $\omega$ $n^{\omega}$ $n^{\omega + o(1)}$ $O(n^{\omega})$

ds.algorithms linear-algebra

— David Harris
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Se você deseja apenas usar a multiplicação de matrizes como uma caixa preta, a maneira mais fácil é dizer "Seja

ω

$\omega$ tal que possamos multiplicar

n \times n

$n \times n$ -matrices com operações aritméticas

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$ ". Obviamente,

ω

$\omega$ não é o expoente da multiplicação de matrizes, mas pode ser arbitrariamente próximo. Se você deseja declarar o expoente da sua execução final na representação decimal, atualmente você precisa arredondar de qualquer maneira, pois todas as estimativas não triviais para

ω

$\omega$ quais tenho conhecimento são números irracionais ou seqüências infinitas.

— Markus Bläser

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ω

$\omega$ é tipicamente definido como o menor de todos os reais

k

$k$ para

n

$n$ indo para

\infty

$\infty$ modo que exista um algoritmo de tempo

O (n^{k})

$O(n^k)$ que multiplique duas

n \times n

$n\times n$ matrizes (onde o tempo é o número de adições, multiplicações e divisões no campo subjacente). Isso também significa que tecnicamente sempre devemos escrever

n^{ω + o (1)}

$n^{\omega+o(1)}$ mas isso fica confuso; portanto, quando você vê

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$ deve pensar em

O (M (n))

$O(M(n))$ onde

M (n)

$M(n)$ é o tempo de execução de um algoritmo de multiplicação de matrizes.

— virgi

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O expoente de multiplicação de matrizes não garante que exista um algoritmo executado no tempo , mas apenas que para cada , existe um algoritmo executado em . De fato, se você puder encontrar um algoritmo que seja executado no tempo , isso mostrará que . $\omega$ $O(n^\omega)$ $\epsilon > 0$ $O(n^{\omega+\epsilon})$ $O(n^2 \mathrm{polylog}(n))$ $\omega = 2$

Você pode encontrar a definição formal no livro Teoria da Complexidade Algébrica de Peter Bürgisser, Michael Clausen, Amin Shokrollahi.

— MCH
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Um comentário menor que é muito longo para ser um comentário:

Às vezes, quando você tem um problema para o qual existe um algoritmo com tempo de execução para cada , existe um algoritmo com tempo de execução . $O(n^{k+\epsilon})$ $\epsilon>0$ $n^{k+o(1)}$

Por exemplo, às vezes você obtém algoritmos que funcionam como para alguma função de crescimento rápido (como ). Se você definir para (digamos) , será o (1). No exemplo com sendo , você pode escolher $f(1/\epsilon)n^{k+\epsilon}$ $f$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $f(1/\epsilon)$ $\log n$ $\epsilon$ $f(1/\epsilon)$ $2^{2^{1/\epsilon}}$ $1/\epsilon$ seja , que fornece , que é o (1). Portanto, o tempo de execução final desse algoritmo será , uma vez que também é . $\log \log \log n$ $\epsilon = 1/ (\log \log \log n)$ $n^{k+o(1)}$ $\log n$ $n^{o(1)}$

— Robin Kothari
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Eu imagino que o algoritmo Coppersmith-Winograd se enquadra nessa categoria?

— David Harris

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@ DavidHarris: Não sei sobre isso. Talvez alguém que entenda o algoritmo possa esclarecer isso. Eu só queria dizer que frequentemente

não é tão ruim quanto parece.

O (n^{k + ϵ})

$O(n^{k+\epsilon})$

— precisa

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É bem sabido o resultado de Coppersmith e Winograd que o tempo não pode ser realizado por nenhum algoritmo isolado. Mas eu li que eles se restringiam a algoritmos baseados em identidades bilineares do tipo Strassen, então não tenho certeza, já que o jornal está por trás de um paywall. $O(n^{\omega})$

— Diego de Estrada
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Não concordo com sua afirmação na pergunta de que não está bem definido pelo "menor valor para o qual existe um algoritmo conhecido de multiplicação de matrizes ". Quando as pessoas estão usando essa constante, é porque seu algoritmo se baseia em uma multiplicação de matrizes e, por uma complexidade , elas significam "a complexidade ideal de nosso algoritmo é dada pelo algoritmo ideal de multiplicação de matrizes". $\omega$ $n^ω$ $n^\omega$

Não estou dizendo que não seja possível definir outra maneira (por exemplo, dizendo que é a melhor complexidade possível). $\omega$ $\omega$

Aliás, o limite superior mais conhecido para multiplicação de matrizes foi aprimorado para se não me engano. $2.3737$

— Bruno
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Eu não vejo como o conhecimento humano pode ser parte de uma definição matemática

— David Harris

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Mostra a experiência recente que é muito mais fácil de quantificar sobre todos os algoritmos do que sobre todos os algoritmos atualmente conhecidos pela humanidade ;-)

— Markus Blaser