Número de portas binárias necessárias para calcular AND e OR de n bits de entrada simultaneamente

Qual é o número mínimo de portas binárias necessárias para calcular AND e OR de bits de entrada simultaneamente? O limite superior trivial é . Eu acredito que isso é ótimo, mas como provar isso? A técnica de eliminação de gate padrão não funciona aqui, pois, ao atribuir uma constante a qualquer uma das variáveis de entrada, trivializamos uma das saídas. $n$ $2n-2$

O problema também é dado como um exercício 5.12 no livro "A complexidade de funções booleanas" por Ingo Wegener em uma forma ligeiramente diferente: "Vamos By. o método de eliminação pode-se provar apenas um limite inferior do tamanho . Tente provar limites inferiores maiores. " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— Alexander S. Kulikov
fonte

@ Ryan: A questão não é sobre AND de OR, mas sobre AND e OR. Eu não sei a resposta para a pergunta de Sasha, no entanto.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto Obrigado, de alguma forma eu consegui analisá-lo incorretamente. Definitivamente, é um problema não trivial - alguém poderia imaginar usar outros tipos de portas para obter uma vantagem sobre

2 n - 2

$2n-2$

— Ryan Williams

@ Sasha, você já tentou aplicar os solucionadores SAT em pequenos exemplos (como

), como em alguns de seus artigos anteriores?

n = 4

$n=4$

— Ryan Williams

@ Ryan Sim, com certeza. O que sabemos é que

. Isto é para a função do livro (é

se todos os

bits de entrada forem iguais). Isso cresce como

. E um circuito de tamanho

é fácil de construir: primeiro compute

para todo

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

portões) e depois calcule a conjunção deles (

portões).

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— Alexander S. Kulikov

@Tsuyoshi: Eu acho que o

portas funcionar de Sasha é a segunda função da questão (

) que pode ser construída com

XNOU portões (aplicado a

) e

portas AND aplicado às XNORs.

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Marzio De Biasi

Respostas:

Este artigo de Blum & Seysen pode ser útil:

N. Blum, M. Seysen. Caracterização de todas as redes ótimas para uma computação simultânea de AND e NOR . Acta Inf. 21: 171-181 (1984)

Eu pensei que para limite inferior pode ser obtida usando métodos de Blum & Seysen, mas parece que este não é o caso. $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— Vladimir Lysikov
fonte

Existe uma versão pública em pdf do artigo de Blum e Seysen disponível?

— Marzio De Biasi

@ Vladimir, obrigado pela referência! Tentarei verificar se os métodos deles são aplicáveis nesse caso quando encontrar o artigo.

— Alexander S. Kulikov

@ Vladimir, obrigado novamente! Na verdade, este artigo contém exatamente a resposta para minha pergunta e ainda mais: ele diz que, para calcular AND e OR simultaneamente, é necessário

e qualquer circuito desse tamanho calcula AND e OR independentemente (isso é interessante!). Também não é difícil mostrar que

2 n - 2

$2n-2$

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$

— Alexander S. Kulikov

@ Sasha, sim, eu perdi essa construção simples. Para esclarecer as coisas, no papel e e NOR funções são consideradas, portanto, para AND e OR temos

limite inferior alterando um portão e para

---

2 n - 2

$2n-2$

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$

2 n - 5

$2n-5$

— Vladimir Lysikov

Apenas um lembrete para @SashaK. se você gostar da resposta, "aceite" clicando na marca de seleção abaixo da contagem de votos.

— Suresh Venkat

Sua pergunta está relacionada à pergunta conhecida sobre como calcular o mínimo e o máximo de uma lista simultaneamente, usando o número mínimo de comparações. Nesse caso, a resposta é $3\lfloor n/2 \rfloor$ .

O algoritmo inteligente que comprova o limite superior se traduz em um circuito AND / OR com o mesmo limite que você obtém, pois uma das comparações calcula um mínimo e um máximo.

No entanto, o limite inferior (fornecido por um argumento adversário) parece traduzir, pelo menos no caso de circuitos monotônicos (uma vez que um circuito AND / OR se traduz em um algoritmo max / min). Isso implicaria um limite inferior de $3\lfloor n/2 \rfloor$ . Talvez um limite inferior apertado possa ser obtido analisando o argumento do adversário.

O limite superior aparece em "Introdução aos algoritmos", onde você também pode encontrar o argumento fácil que mostra que os circuitos comparadores máx / min são válidos se eles trabalharem para entradas booleanas (use um limite apropriado). O limite inferior pode ser encontrado, por exemplo, aqui .

— Yuval Filmus
fonte

Observe na pergunta de Sasha, todas as funções booleanas de 2 bits podem ser usadas para construir o circuito.

— Ryan Williams

Sim, não está claro como o limite inferior pode ser convertido para o caso de todas as funções binárias.

— Alexander S. Kulikov