Algoritmos de redutibilidade e subexponencial do SERF

Eu tenho uma pergunta sobre a redutibilidade do SERF de Impagliazzo, Paturi e Zane e algoritmos subexponenciais. A definição de redutibilidade do SERF fornece o seguinte:

Se é SERP-redutível a e ali algoritmo para para cada , então não é algoritmo para para cada . (O parâmetro de dureza para ambos os problemas é indicado por .) $P_1$ $P_2$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_2$ $\varepsilon > 0$ $O(2^{\varepsilon n})$ $P_1$ $\varepsilon > 0$ $n$

Algumas fontes parecem sugerir que o seguinte também é válido:

Se é SERP-redutível a e ali algoritmo para , então não é algoritmo para . $P_1$ $P_2$ $O(2^{o(n)})$ $A_2$ $O(2^{o(n)})$ $P_1$

Minha pergunta é: essa afirmação realmente vale e, se existir, existe uma redação da prova em algum lugar?

Como pano de fundo, tenho tentado entender a área em torno da hipótese do tempo exponencial. O IPZ define problemas subexponenciais como aqueles que possuem algoritmo para cada , mas aparentemente isso não é suficiente à luz do conhecimento atual para implicar a existência de um algoritmo subexponencial para o problema. A mesma lacuna parece estar presente na redutibilidade do SERF, mas estou parcialmente esperando que algo esteja faltando aqui ... $O(2^{\varepsilon n})$ $\varepsilon > 0$

cc.complexity-theory reference-request

— Janne H. Korhonen
fonte

EDIT: Como apontado por Ryan nos comentários, um problema pode ter um algoritmo não uniforme com o funcionamento de tempo para qualquer constante (o algoritmo tem acesso a ), mas nenhum uniforme o tempo algoritmo. $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon > 0$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$

Como uma redução SERVO é uma família de reduções Turing, um para cada , concluo que eles só podem ser usadas para obter algoritmos de tempo a partir de ou de tempo algoritmos. $\epsilon>0$ $O(2^{\epsilon n})$ $O(2^{\epsilon n})$ $2^{o(n)}$

O seguinte teorema é provado por Chen et al. [2009] .

Teorema 2.4 . Seja uma função não decrescente e ilimitada e seja um problema parametrizado. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (1) pode ser resolvido no tempo para qualquer constante , onde é um polinômio; (2) pode ser resolvido no tempo $f(k)$ $Q$
$Q$ $O(2^{\delta f(k)}p(n))$ $\delta > 0$ $p$
$Q$ , onde é um polinômio. $2^{o(f(k))} q(n)$ $q$

Tomando , obtemos que um problema tem um algoritmo de tempo para cada se e somente se ele tiver um algoritmo de tempo . $f(k)=n$ $O(2^{\epsilon n})$ $\epsilon>0$ $2^{o(n)}$

É mencionado no artigo de Chen et al. que essa equivalência havia sido intuitivamente usada antes, mas estava causando alguma confusão entre os pesquisadores.

— Serge Gaspers
fonte

Apenas uma observação: existem outras condições que precisam ser assumidas para que a prova funcione. Por um lado,

deve ser eficientemente computável. Em segundo lugar, deve haver um algoritmo uniforme único

que atinja

para cada

(pense em

como outra entrada para

). É inteiramente possível que, sem essas condições, um problema possa satisfazer (1) mas não (2).

f

$f$

A

$A$

2^{δ f (k)}

$2^{\delta f(k)}$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

A

$A$

— Ryan Williams

Certo. Tomando o Teorema 2.4 fora de seu contexto, essas duas condições foram perdidas. No papel, nota de rodapé 1 dá a condição de

e a segunda condição é dada na Nota 2.

f

$f$

— Serge Gaspers

Isso praticamente responde a todas as minhas perguntas sobre isso! Muito obrigado. Como uma observação interessante, embora pareça que as reduções do SERF não preservem a existência de algoritmos subexponenciais, parece que o lema de Sparsification do IPZ é de fato suficientemente forte para fornecer um algoritmo de

ao k-SAT se existe um algoritmo de

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

2^{o (m)}

$2^{o(m)}$

— Jan11 H. Korhonen

Uma observação final no caso de alguém se deparar com isso mais tarde: aparentemente algumas fontes usam a definição "não uniforme" de tempo subexponencial (para todos

existe um algoritmo

) e outras usam a definição "uniforme" (há

algoritmo.) Em particular, o IPZ usa o primeiro. Para o último, você deve alterar a definição de redução SERF para que o parâmetro

seja dado à redução como entrada; compare com o teorema acima de Chen et al. Para detalhes, consulte, por exemplo, o Capítulo 16 da Teoria da Complexidade Parametrizada (2006), de Flum e Grohe.

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (2^{ε n})

$O(2^{\varepsilon n})$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

ε

$\varepsilon$

— Janne Korhonen H.

Também parece que Flum e Grohe dão uma prova do teorema na resposta em seu livro; veja Lema 16.1.

— Janne H. Korhonen