Algoritmos de aproximação para TSP métrico

Sabe-se que o TSP métrico pode ser aproximado dentro de e não pode ser aproximado melhor que $1.5$ em tempo polinomial. Existe algo conhecido sobre como encontrar soluções de aproximação em tempo exponencial (por exemplo, menos de2netapas com apenas espaço polinomial)? Por exemplo, em que tempo e espaço podemos encontrar um passeio cuja distância seja no máximo1,1×OPT?$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Estudei o problema e encontrei os algoritmos mais conhecidos para o TSP.

$n$ é o número de vértices,$M$ é o peso máximo da aresta. Todos os limites são dados acima para um factor polinomial do tamanho de entrada ($poly(n, \log M)$ ). Denotamos TSP assimétrico por ATSP.

1. Algoritmos Exatos para TSP

1.1 ATSP geral

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$de tempo e$exp$-espaço (Björklund).

$2^n$ tempo e$2^n$ espaço (Bellman;Held, Karp).

$4^n n^{\log n}$ tempo e$poly$ -espaço (Gurevich, Sela;Björklund, Husfeldt).

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ tempo e$2^t$ espaço para$t=n,n/2,n/4,\ldots$ (Koivisto, Parviainen).

$O^*(T^n)$ tempo e$O^*(S^n)$ espaço para qualquer$\sqrt2<S<2$com$TS<4$(Koivisto, Parviainen).

$2^n\times M$Tempo epoliespaço 2 n × M (Lokshtanov, Nederlof).

$2^n\times M$ tempo e espaço$M$ (Kohn, Gottlieb, Kohn;Karp;Bax, Franklin).

$2^n$

1.2 Casos Especiais de TSP

$1.657^n\times M$

$(2-\epsilon)^n$$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$$poly$$\epsilon$

$1.251^n$$poly$

$1.890^n$$poly$$4$

$1.733^n$$4$

$1.657^n$$poly$

$(2-\epsilon)^n$$d^n$$d$

2. Algoritmos de aproximação para TSP

2.1 TSP geral

Não pode ser aproximado em nenhuma função computável de tempo polinomial, a menos que P = NP ( Sahni, Gonzalez ).

2.2 TSP métrico

$3 \over 2$

$123\over 122$

2.3 TSP gráfico

$7\over5$

2.4 (1,2) -TSP

MAX-SNP rígido ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$

2.5 TSP em métricas com dimensão limitada

PTAS para TSP em um espaço euclidiano de dimensão fixa ( Arora ; Mitchell ).

$\log{n}$

PTAS para TSP em métricas com dimensão de duplicação limitada ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6 ATSP com desigualdade de triângulo direcionado

$O(1)$

$75\over 74$

2.7 TSP em gráficos com menores proibidos

PTAS de tempo linear ( Klein ) para TSP em gráficos planares.

PTAS para gráficos sem menores ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

$22\frac{1}{2}$

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$$g$

2.8 MAX-TSP

$7\over9$

$7\over8$

$3\over4$

$35\over44$

2.9 Aproximações de tempo exponencial

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Ficaria muito grato por quaisquer adições e sugestões.

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th. Paschos: Esquemas de aproximação exponencial para alguns problemas gráficos. Disponível online .

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(pelo menos na faixa de fatores constante), ver melhorias na taxa de aproximação, mesmo quando determinado o tempo subexponencial. Existem vários problemas em que o melhor resultado de dureza conhecido é através de uma redução ineficiente do SAT, ou seja, o resultado da dureza está sob uma suposição mais fraca, como NP não contida em tempo quase polinomial. Nesses casos, pode-se obter uma melhor aproximação no tempo subexponencial. O único que conheço é o problema da árvore do grupo Steiner. Um resultado famoso e recente é o de Arora-Barak-Steurer em um algoritmo de tempo subexponencial para jogos únicos: a conclusão que tiramos desse resultado é que, se UGC é verdadeiro, a redução de SAT para UGC deve ser algo que ineficiente, isto é, o tamanho da instância de UGC obtida a partir da fórmula SAT precisa crescer com os parâmetros de uma certa maneira.

A melhor colher de chá para gráficos de gênero com limite ponderado é http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ .