Problemas "direcionados" que são mais fáceis do que sua variante "não direcionada".

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Eu estava apresentando uma palestra sobre classificação de panquecas e mencionei que:

O que me fez pensar. Há um sentido em que a classificação "assinada" é "direcionada" - você pode ver o sinal como uma direção (e, de fato, essa é a motivação da biologia evolucionária). Mas é um problema mais fácil! Isso é incomum, porque geralmente (pelo menos em gráficos) os problemas direcionados são mais difíceis (ou pelo menos tão difíceis) quanto seus colegas não-dirigidos.

Supondo uma definição generosa de "direcionado", existem exemplos de problemas direcionados que são mais fáceis do que seus colegas não-dirigidos?

ds.algorithms

— Suresh Venkat
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2

Você pode considerar o Horn 3SAT (todas as cláusulas podem ser representadas como (A AND B)

C) como cláusulas direcionadas, pois podem ser vistas como implicações. Portanto, aqui o caso direcionado é fácil enquanto o 3SAT não direcionado é difícil.

\to

$\to$

— Mohammad Al-Turkistany

1

Eu me perguntei uma pergunta semelhante para uma classe que eu estava ensinando (onde usamos o LP para aproximar a solução IP): existe uma classe de problemas em que encontrar uma solução inteira era mais fácil do que encontrar uma solução racional

— Gopi

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A contagem de circuitos eulerianos para gráficos direcionados é possível em tempo polinomial usando o teorema BEST , enquanto, aparentemente, o mesmo problema para gráficos não direcionados é # P-complete .

— Timothy Sun
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Todas as respostas são ótimas, mas se eu tiver que aceitar uma, é porque a diferença é grande e o problema é muito limpo.

— Suresh Venkat

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Um caso interessante e não tão conhecido é o seguinte. Suponha que tenhamos um gráfico com aresta ponderada e um nó raiz $G$ $r$ . Queremos o sub-gráfico de custo mínimo de modo que haja caminhos separados por arestas de a todos os nós no gráfico. Quando esse é o problema de arborescência de custo mínimo em gráficos direcionados e em gráficos não direcionados, é equivalente ao problema MST. Ambos podem ser solucionados em poli-tempo, embora o gabinete não direcionado seja mais fácil. No entanto, o problema é solucionável em poli-tempo em gráficos direcionados para qualquer enquanto é NP-Hard em gráficos não direcionados para (uma vez que captura o custo mínimo $G$ $k$ $r$ $k=1$ $k$ $k=2$ $2$ -edge-connected sub-graph problem).

— Chandra Chekuri
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Talvez este não seja o melhor exemplo, mas considere a cobertura do ciclo (direcionado), onde a tarefa é cobrir todos os vértices por ciclos verticais-disjuntos (direcionados). No caso direcionado, isso pode ser reduzido para correspondência bipartida e resolvido em tempo polinomial. No caso não direcionado, o problema pode ser reduzido à correspondência não bipartida (e vice-versa), que é um problema mais difícil, mas ainda solucionável em tempo polinomial.

— Daniel Marx
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Um exemplo semelhante mais impressionante é o seguinte: seja

um gráfico ponderado direcionado (os pesos podem ser negativos). Podemos verificar se existe um ciclo negativo em

usando o algoritmo Ford-Bellman. Porém, se

não for direcionado, o problema se tornará muito mais difícil (mas ainda assim solucionável em termos de tempo poli).

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— Ilyaraz 03/12

Esse é definitivamente um bom exemplo, e na linha do que eu estava pensando quando fiz a pergunta.

— Suresh Venkat

2

Eu sempre tive a impressão de que "problemas envolvendo ciclos" são mais fáceis em gráficos direcionados. Talvez haja algum princípio por trás disso, como se os componentes com 2 conexões tenham "menos estrutura" do que os componentes fortemente conectados ("problemas envolvendo ciclos" = aqueles que podem ser resolvidos olhando separadamente para cada componente).

— Diego de Estrada

3

Diego: se uma caminhada fechada direcionada passa por um vértice v, existe um ciclo direcionado passando por v. A afirmação análoga não é verdadeira para gráficos não direcionados. Assim, em gráficos direcionados, muitas vezes podemos raciocinar sobre caminhadas em vez de ciclos. As caminhadas são mais robustas e menos teóricas do que os ciclos, o que poderia ser uma vantagem. Talvez seja uma explicação formal da sua impressão.

— Daniel Marx

9

Aqui está um problema que, como percebi recentemente, parece mais difícil em gráficos não direcionados do que em gráficos direcionados.

$m\sqrt{n}\log C$ $m$ $n$ $C$ $n^3, mn\log n$

$m\sqrt{n}\log C$ $n^3, mn\log n$

— virgi
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mas aqui "difícil" significa apenas em relação aos tempos de execução (polinomiais) dos algoritmos que conhecemos; pode ser que estamos perdendo alguma técnica, é claro

— virgi

2

Esse é outro exemplo interessante. E parabéns pelo incrível resultado novo.

— Suresh Venkat

1

Obrigado, Suresh! Em outra nota, acabei de notar que ilyaraz tinha minha resposta em um comentário à resposta de Daniel Marx ... desculpe pela duplicação.

— virgi