Problemas de computação infinitamente grandes, mas localmente finitos

Essa pergunta é inspirada em um comentário que Jukka Suomela fez em outra pergunta .

Quais são exemplos de problemas (e algoritmos) de computação infinitamente grandes, mas localmente finitos?

Em outras palavras, quais são os exemplos de cálculos que são interrompidos em tempo finito, nos quais cada Máquina de Turing lê e processa apenas dados finitos, mas, no conjunto, a computação resolve um problema de tamanho infinito se houver infinitas máquinas de Turing conectadas em rede?

Apenas para dar algumas idéias do que é possível (mas de certa forma não trivial), aqui está um exemplo: um algoritmo distribuído que encontra uma borda máxima compactada em um gráfico de graus limitados.

Definição de problema

Dado um gráfico simples e não direcionado , um empacotamento de aresta (ou correspondência fracionária) associa um peso w ( e ) a cada aresta e ∈ E, de modo que, para cada nó v ∈ V , o peso total de arestas incidentes para v é no máximo 1 . Um nó está saturado se o peso total das bordas do incidente for igual a 1 . Uma gaxeta de aresta é máxima se todas as arestas tiverem pelo menos um ponto final saturado (ou seja, nenhum dos pesos pode ser estendido com avidez).$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

Observe-se que um máximo correspondentes define uma embalagem borda mima (conjunto w ( e ) = 1 sse e ∈ H ); portanto, é fácil resolver em um cenário centralizado clássico (assumindo que G é finito).$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

As gaxetas de borda realmente têm algumas aplicações, pelo menos se uma define uma aplicação no sentido comum do TCS: o conjunto de nós saturados forma uma aproximação de uma cobertura mínima de vértice (é claro que isso só faz sentido no caso de um G finito ) .$2$$G$

Modelo de computação

Vamos assumir que existe uma constante global tal que o grau de qualquer v ∈ V seja no máximo Δ .$\Delta$$v \in V$$\Delta$

Para manter isso o mais próximo possível do espírito da pergunta original, vamos definir o modelo de computação da seguinte forma. Assumimos que cada nó é uma máquina de Turing e uma borda { u , v } ∈ E é um canal de comunicação entre u e v . A fita de entrada de v codifica o grau deg ( v ) de v . Para cada v ∈ V , as arestas incidentes em v são rotuladas (em uma ordem arbitrária) com números inteiros 1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; esses são chamados derótulos de borda locais(o rótulo de { u , v } ∈ E pode ser diferente para u e v ). A máquina possui instruções com as quais pode enviar e receber mensagens através de cada uma dessas bordas; uma máquina pode endereçar seus vizinhos usando as etiquetas de borda locais.$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

Exigimos que as máquinas de calcular uma margem válida embalagem para G . Mais precisamente, cada v ∈ V deve imprimir em sua fita de saída uma codificação de w ( e ) para cada borda e incidente em v , ordenada pelas etiquetas da borda local e depois parar.$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

Dizemos que um algoritmo distribuído encontra um empacotamento máximo de arestas no tempo T , se o seguinte for válido para qualquer gráfico G de grau máximo Δ e para qualquer rotulagem local de arestas de G : se substituirmos cada nó de G por uma cópia idêntica de a máquina de Turing A e inicie as máquinas, depois de T etapas todas as máquinas imprimiram uma solução válida (consistente globalmente) e pararam.$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

Infinities

Agora, todas as opções acima fazem todo sentido, mesmo que o conjunto de nós seja infinitamente contável.$V$

A formulação do problema e o modelo de computação não têm nenhuma referência a , diretamente ou indiretamente. O comprimento da entrada para cada máquina de Turing é limitado por uma constante.$|V|$

O que é conhecido

O problema pode ser resolvido em tempo finito, mesmo que seja infinito.$G$

O problema não é trivial no sentido de que é necessária alguma comunicação. Além disso, o tempo de execução depende de . No entanto, para qualquer Δ fixo , o problema pode ser resolvido em tempo constante, independentemente do tamanho de G ; em particular, o problema é solucionável em gráficos infinitamente grandes.$\Delta$$\Delta$$G$

$\Delta$$\Delta$

Encontrando a próxima geração de um autômato celular .

Isso pode ser resolvido como você descreveu em tempo constante. $\;$ (ou seja, independente da entrada)

Essencialmente, todo problema que seja pelo menos tão difícil quanto colorir exige um algoritmo com um tempo de execução dependente do número de nós na rede e, portanto, não pode funcionar em um gráfico infinito, mas localmente finito. Isso segue o log seminal do Linial * n limite inferior.

$AC^0$$AC^0$