Algoritmos de aproximação de tempo super polinomial para MAX 3SAT

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O teorema do PCP afirma que não há algoritmo de tempo polinomial para o MAX 3SAT encontrar uma atribuição que satisfaça as cláusulas de 7/8 de uma fórmula 3SAT satisfatória, a menos que . $7/8+ \epsilon$ $P = NP$

Existe um algoritmo de tempo polinomial trivial que satisfaz das cláusulas. Então, podemos fazer melhor que se permitirmos algoritmos super-polinomiais? Que razões de aproximação podemos obter com algoritmos de tempo quase polinomiais ( ) ou com algoritmos de tempo subexponenciais ( )? Estou procurando referências para esses algoritmos. $7/8$ $7/8+ \epsilon$ $n^{O(\log n)}$ $2^{o(n)}$

cc.complexity-theory pcp

— Mohammad Al-Turkistany
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Pode-se obter uma aproximação de 7/8 para MAX3SAT que é executada em tempo sem muitos problemas. Aqui está a ideia. Divida o conjunto de variáveis em grupos de variáveis cada. Para cada grupo, tente todas as maneiras de atribuir as variáveis no grupo. Para cada fórmula reduzida, execute a aproximação de Karloff e Zwick . Produza a tarefa que satisfaça um número máximo de cláusulas, em todas essas tentativas. $7/8+\varepsilon/8$ $2^{O(\varepsilon n)}$ $O(1/\varepsilon)$ $\varepsilon n$ $2^{\varepsilon n}$ $7/8$

O ponto é que existe algum bloco variável, de modo que a atribuição ótima (restrita a esse bloco) já satisfaz uma do número máximo de cláusulas satisfeitas. Você obterá essas cláusulas extras exatamente corretas e obterá da fração restante do ideal usando Karloff e Zwick. $\varepsilon$ $7/8$

É uma pergunta interessante se é possível obter tempo para o mesmo tipo de aproximação. Existe uma "conjectura linear de PCP" que 3SAT pode ser reduzida em tempo polinomial para MAX3SAT, de modo que: $2^{O(\varepsilon^2 n)}$

se a instância 3SAT for satisfatória, a instância MAX3SAT é completamente satisfatória,
se a instância 3SAT não for satisfatória, a instância MAX3SAT não é satisfatória e $7/8+\varepsilon$
a redução aumenta o tamanho da fórmula apenas por um fator . $poly(1/\varepsilon)$

Assumindo esta linear PCP conjectura, um -time aproximação, para todos e , implicaria que 3SAT é em tempo, para todos . (Aqui é o número de cláusulas.) A prova usa o lema da esparsificação de Impagliazzo, Paturi e Zane. $2^{O(\varepsilon^c m)}$ $7/8+\varepsilon$ $c$ $\varepsilon$ $2^{\varepsilon n}$ $\varepsilon$ $m$

— Ryan Williams
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Graças Rayan pela sua resposta agradável, podemos tomar isso como uma evidência contra a existência de algoritmos de tempo quasi-polinomial ou sub-exponencial com rácios de aproximação melhor do que

?

7 / 8

$7/8$

— Mohammad Al-Turkistany

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Para reafirmar um pouco o que Ryan Williams escreveu em seu último parágrafo:

O teorema mostra Moshkovitz-Raz que existe uma função de de tal modo que se Max-3Sat pode ser -approximated em tempo então a versão de decisão do 3Sat está no tempo $T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$ $(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$ $T(n)$ $2^{o(n)}$ . Acredita-se que o último seja impossível (essa é a hipótese do tempo exponencial), caso em que o primeiro também é impossível. Para colocá-lo não com bastante precisão, você não pode bater para Max-3Sat em qualquer coisa melhor do que tempo exponencial completo. $7/8$

— Ryan O'Donnell
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