Reduzindo as perguntas de limite para as questões de finitude

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Geralmente, é mais simples argumentar sobre cálculo onde a limitação é a finitude da computação, em vez de um limite como "computável em quantidade de tempo polinomial".

Na teoria das linguagens formais, por exemplo, em vez de usar o para caracterizar o período aperiódico, é mais fácil usar palavras profinidas para que . $\exists n. x^{n+1} = x^n$ $x^{\omega+1} = x^{\omega}$

Na teoria da complexidade, a única técnica que conheço relacionada a isso é o truque de preenchimento, por exemplo, vincular o problema de P vs NP a EXPTIME vs NEXPTIME. Mas o equivalente infinito natural das questões de complexidade seria o da computabilidade.

Existem resultados que vinculam a complexidade às questões de computabilidade usando alguma codificação, de modo que o limiar de recursos da teoria da complexidade se torne uma questão de finitude da computação na teoria da computabilidade?

cc.complexity-theory computability

— Ludovic Patey
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Seu exemplo de palavras profinidas lembra uma aritmética e uma análise não padronizadas. Desse ponto de vista, pode-se ver polinomial versus super-polinomial como a seguinte questão de finitude (eu percebo que isso é uma espécie de hack, mas acho que é semelhante ao truque profinito de palavras): Seja o tempo de execução máximo de Turing máquina nas entradas de comprimento . Então é executado em tempo polinomial se se for finito. Provavelmente, isso pode ser transformado em um modelo de computação "profinito" estranho, no qual a expressão anterior é realmente o "tempo de execução" desse modelo.

T (n)

$T(n)$

M

$M$

n

$n$

M

$M$

\underset{n \to \infty}{lim sup} \log T (n) / n

$\limsup_{n \to \infty} \log T(n) / n$

— 30713 Joshua Grochow

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Sipser provou que nenhuma paridade infinita pode ser calculada por um circuito (infinito) de profundidade constante, que você pode ver como um aquecimento para o resultado de que PARITY não está em . $AC^0$

Também existem alguns resultados e tentativas de provas de limites inferiores na complexidade da prova usando modelos fora do padrão (alguns resultados de Ajtai e Krajicek. Veja "Forçar com variáveis aleatórias e complexidade de provas", especialmente de Krajiceks, disponível na Cambridge Press, mas também um rascunho disponível online ). A idéia básica é construir um modelo aritmético não-padrão no qual uma declaração seja falsa no modelo (em vez de "verdadeira, mas sem provas curtas") e, a partir das propriedades do modelo, inferir que uma sequência correspondente de declarações não possui provas de tamanho polinomial em algum sistema de provas.

Não tenho certeza, mas minha impressão é que, muitas vezes, esses resultados meio que "escondem os assintóticos sob o capô", de modo que não se trata tanto de uma redução do limiar à finitude quanto de uma nova linguagem matemática na qual "falso" no O novo idioma corresponde a "sem provas curtas" no idioma antigo. Isso não quer dizer que o novo idioma não forneça um novo ponto de vista útil, mas não tenho certeza se é isso que você está procurando.

— Joshua Grochow
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Os campos de complexidade descritiva e complexidade implícita podem ser vistos como tendo esse tipo de abordagem. Ambos transformam uma restrição de recurso (como ou ) em expressibilidade do problema em um formalismo lógico (para complexidade descritiva) ou em uma linguagem de programação específica (para complexidade implícita). $P$ $NP$

Portanto, não está relacionado à computação infinita, mas à expressibilidade do problema em um determinado modelo. No entanto, é próximo no sentido de transformar um problema quantitativo em qualitativo.

— Denis
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