Existe uma versão contínua do teorema da repetição paralela

O teorema da pretensão paralela de Raz é um resultado importante no PCP, na aproximação, etc. O teorema é resumido da seguinte forma.

$G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$$\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$$\pi$$\mathcal{S}\times\mathcal{T}$$V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$

$$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$$ $n$ jogo dobrado $G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$ . O teorema diz que $v(G)\leq 1-\epsilon,$ então $v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$ .

Minha pergunta é o que acontece se os conjuntos forem infinitos, em um espaço contínuo. Diga se $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ são subconjuntos de um espaço, digamos $R^n$ , ou mais espaços abstratos. Todo o resto é o mesmo. O teorema de Raz fornece apenas um limite superior trivial $1$ uma vez que os tamanhos dos conjuntos de respostas são infinitos. Obviamente, o valor $n$ vezes é delimitado por cópia única. A diminuição exponencial também acontece em caso contínuo? Seria mais interessante restringir $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ a serem coleções de funções contínuas ou funções $C^{\infty}$ ou funções mensuráveis?

A diminuição exponencial também acontece em caso contínuo?

No. Feige e Verbitsky [FV02] mostrou que, para cada n , há um jogo de L (com conjuntos finitos de perguntas e respostas) tais que v ( L ) ≤3 / 4 e v ( L ⁿ ) ≥1 / 8. Como a sua formulação generaliza os jogos com conjuntos finitos de perguntas e respostas de qualquer tamanho, a repetição paralela (muitas vezes finitas) não pode diminuir o valor de um jogo de 3/4 para 1/8.

[FV02] Uriel Feige e Oleg Verbitsky. Redução de erro por repetição paralela - Um resultado negativo. Combinatorica , 22 (4): 461–478, outubro de 2002. doi: 10.1007 / s00493-002-0001-0 .