Resolvendo uma equação diofantina linear aproximadamente

Considere o seguinte problema:

Entrada : um hiperplano $H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$ , dado por um vetor $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$ e $b \in \mathbb{Z}$ na representação binária padrão.

Saída : $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

Na notação acima, $d(\mathbf{x}, S)$ para e é definido como , ou seja, é a distância euclidiana natural entre um conjunto de pontos e um único ponto.$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$S \subseteq \mathbb{R}^n$$d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$

Em palavras, recebemos um hiperplano e procuramos o ponto na rede inteira mais próximo do hiperplano.

A questão é:

Qual é a complexidade desse problema?

Observe que o tempo polinomial aqui significa polinômio no tamanho de bits da entrada. Tanto quanto posso ver, o problema é interessante, mesmo em duas dimensões. Portanto, não é difícil ver que basta considerar apenas essas soluções com mas isso é superpolinomialmente muitas opções.( x 1 , x 2 ) 0 ≤ x 1 ≤ | a 1 | / g c d ( a 1 , a 2$(x_1, x_2)$$0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$

Um problema intimamente relacionado é resolver uma equação diofantina linear, ou seja, encontrar um tal que ou determinar que existe. Portanto, resolver uma equação diofantina linear é equivalente a determinar se existe uma solução de valor 0 para o problema definido acima. Uma equação diofantina linear pode ser resolvida em tempo polinomial; de fato, mesmo sistemas de equações diofantinas lineares podem ser resolvidos em tempo polinomial, computando a forma normal de Smith da matriz fornece o sistema. Existem algoritmos de tempo polinomial que calculam a forma normal de Smith de uma matriz inteira, o primeiro dado porx ∈ Z n a T x = b $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$$\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$$\mathbf{x}$$\mathbf{A}$Kannan e Bachem .

Para obter intuição sobre equações diofantinas lineares, podemos considerar o caso bidimensional novamente. Claramente, não há solução exata se não divide . Se dividir , você poderá executar o algoritmo GCD estendido para obter dois números e modo que e defina e . Agora você pode ver como a versão aproximada é diferente: quando não divide , como encontramos os inteirosg c d ( a 1 , a 2 ) b b s t a 1 s + a 2 t = g c d ( a 1 , a 2 ) x 1 = s b / g c d ( a 1 , a 2 ) x 2 = t b / g c d ( a 1$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$b$$s$$t$$a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$$b$$x_1, x_2$tal que a distância entre e a linha é minimizada?$(x_1, x_2)$$a_1x_1 + a_2x_2 =b$

O problema para mim parece um pouco com o problema de vetor mais próximo nas redes, mas não vejo uma redução óbvia de um problema para o outro.

Tudo bem, pensando mais sobre isso, acredito que tenho uma redução explícita desse problema para o GCD estendido; Explicarei no caso n = 2 , mas acredito que se estenda a n arbitrário . Observe que isso encontra um x que minimiza a distância do hiperplano, mas não necessariamente o menor x (existem de fato infinitos valores que atingem a mesma distância mínima) - acredito que o último problema também é viável, mas não deu ainda é um pensamento real. O algoritmo é baseado em alguns princípios simples:$n=2$$n$ $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$

• Se g = G C D ( a 1 , a 2 ) , então o conjunto de valores assumidos por a ⋅ x = a 1 x 1 + a 2 x 2 é precisamente { 0 , ± g , ± 2 g , ± 3 g , ... } ; Além disso, os valores de x 1 e x 2 com um 1 x $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$$\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$$x_1$$x_2$+ a 2 x 2 = g pode ser encontrado eficientemente (esse é exatamente o algoritmo euclidiano estendido).$a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
• A distância mínima do hiperplano até um ponto na rede é a distância mínima de um ponto na rede até o hiperplano (óbvio, mas uma inversão útil do problema).
• A distância de um dado ponto x ao hiperplano a ⋅ y = b é proporcional a | um ⋅ x - b | (especificamente, é 1 / | a | vezes esse valor - mas, como a multiplicação de todas as distâncias por esse valor não afeta o local mínimo, podemos ignorar o fator de normalização).$\mathbf{x}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$$1/|\mathbf{a}|$

Isso sugere o seguinte procedimento:

• Calcular g = G C D ( um 1 , um 2 ) , juntamente com X 0 1 , x 0 2 de tal modo que um 1 x 0 1 + um 2 x 0 2 = g .$g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$$x^0_1, x^0_2$$a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
• Calcular r = ⌊ bg ⌋e calculed=min(b-rg,(r+1)g-b); dé a distância mínima (escalada) da rede ao hiperplano. Deixesserrour+1(=⌈$r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$$d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$$d$$s$$r$$r+1$g ⌉, a menos quebseja um múltiplo deg) dependendo de qual deles atingir a distância mínima.$=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$$b$$g$
• Calcular x 1 = s x 0 1 e X 2 = s x 0 2 ; então a ⋅ x = s g é o múltiplo mais próximo de g a b e, portanto, | um ⋅ x - b | atinge o mínimo dessa distância em todos os pontos da rede.$x_1 = sx^0_1$$x_2 = s x^0_2$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$$g$$b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

Até onde eu sei, o mesmo procedimento deve funcionar corretamente em dimensões arbitrárias; a chave é que o GCD n- dimensional ainda satisfaz a identidade de Bezout e, para encontrar a distância mínima até um ponto de rede, você só precisa encontrar o múltiplo mais próximo de g para b .$n$$g$$b$