O problema de cláusulas independentes máximas parametrizadas é no FPT?

Parametrizada máximo problema cláusulas independente:
Entrada: fórmula A r-CNFSAT F tendo n variáveis e m cláusulas, k
Ques: Does existe pelo menos k cláusulas de tal modo que eles são independentes entre si ou seja, não variável ocorre mais do que uma vez em todos estes cláusulas combinadas.
Parâmetro: k
Gostaria de saber se esse problema está no FPT ou não. Em ambas as situações, uma idéia para avançar será apreciada.

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Gaurav
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O k em "k-CNF" e o k na pergunta são a mesma variável? E qual é o parâmetro desse problema?

— Tsuyoshi Ito

Além disso, você tentou expor seu problema de maneiras diferentes, ou seja, sem se referir às fórmulas da CNF? “A correspondência do hipergrafo” e “a embalagem definida por r” (em que r se refere ao seu primeiro k, o número de variáveis em cada cláusula) parecem ser nomes comuns para esse problema.

— Tsuyoshi Ito

É provável que o parâmetro seja

. Isso me parece equivalente a encontrar um máximo correspondente a um hipergrafo, sem saber como vejo o fato de que é uma "fórmula" faz a diferença (em outras palavras, não vejo como literais negados influenciam o problema - não que eles precisam, apenas curioso).

k

$k$

— Neeldhara

@Tsuyoshi: Uma pesquisa rápida também não revela nada sobre a complexidade parametrizada do problema de correspondência máxima de hipergrafos; portanto, a questão permanece interessante, apesar da reformulação.

— Neeldhara

@ Neeldhara: Meu palpite é que o parâmetro é o k simples ou o negrito k , não o

itálico !

k

$k$

— Tsuyoshi Ito

Respostas:

Suponho que o k no k-CNF seja diferente do número de cláusulas k e também que o último seja o parâmetro. Substituirei o k-CNF pelo k'-CNF a seguir.

Esse problema está no FPT para cada k '. Observe que nenhuma "lógica" está sendo usada na definição do problema; portanto, você pode simplesmente assumir que possui uma coleção de m conjuntos de n elementos, em que cada conjunto tem cardinalidade no máximo k '. (Remover os sinais dos literais não altera o problema.)

Agora você está solicitando um conjunto de tamanho k de uma coleção de tamanho m, onde cada conjunto tem cardinalidade no máximo k ' . Este é o FPT quando cada conjunto tem tamanho constante. Existem muitas referências a esse problema, a frase-chave é "definir embalagem".

— Ryan Williams
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Na verdade, eu pensei que os outros deram respostas mais abrangentes. Na verdade, depois de ver a resposta de Serge, eu pensei sobre a exclusão de meu ...

— Ryan Williams

$\mathcal{C}$ $r$ $S$ $k$
$k$
$\mathcal{C'} \subseteq \mathcal{C}$ $k$

$r$
$r$

[1]: Rodney G. Downey, Michael R. Fellows: complexidade parametrizada. Springer, 1999.
[2]: Michael R. Fellows, Christian Knauer, Naomi Nishimura, Prabhakar Ragde, Frances A. Rosamond, Ulrike Stege, Dimitrios M. Thilikos, Dimitrios M. Thilikos, Sue Whitesides: Algoritmos tratáveis de parâmetros fixos mais rápidos para problemas de correspondência e empacotamento. Algoritmica 52 (2): 167-176 (2008)

— Serge Gaspers
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Deixe-me tentar fornecer uma redução bidirecional explícita que deve tornar clara a dureza FPT / W em diferentes situações (é altamente recomendável que você procure as excelentes referências nas outras respostas, pois isso é apenas algo que resolvi depois de ler sua pergunta, e eu poderia facilmente ter perdido alguma coisa).

$k$

$(i,j)$ $i < j$

$\{(u,v) ~|~ (u,v) \in E(G)\}$

$u$ $v$

Agora, aqui está uma redução ao conjunto independente: introduza um vértice para cada conjunto e adicione uma aresta entre dois conjuntos se eles compartilharem um elemento em comum. Novamente, um conjunto de conjuntos mutuamente disjuntos na família corresponde exatamente a um conjunto independente neste gráfico.

$W[1]$ $\Delta = O(1)$ $N[v]$ $|N[v]|$

É por isso que seu problema é difícil em geral e FPT no caso especial quando os tamanhos dos conjuntos na família em questão são limitados.

— Neeldhara
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(u, v)

$(u,v)$

Aha - isso funcionou, muito obrigado! Salva-me uma viagem a meta :)

— Neeldhara

Trabalhos em matemática com barra invertida dupla, eu acho.

— David Eppstein

Está certo; e o comportamento também é explicado na FAQ do MO: mathoverflow.net/faq Aparentemente, isso tem algo a ver com a interferência do Markdown, e aparentemente usar backticks também é outra solução.

— Neeldhara