Determinante de uma matriz generalizada de Vandermonde

A matriz de Moore é semelhante à matriz de Vandermonde, mas possui uma definição ligeiramente modificada. http://en.wikipedia.org/wiki/Moore_matrix

Qual é a complexidade de calcular o determinante de um dado módulo matriz de Moore $n \times n$ com algum número inteiro?

O determinante de Moore pode ser reduzido de $O(n^{3})$ usando técnicas de FFT para $O(n\log^{a}n)$ para alguns $a \in \mathbb{R}_{+} \cup \{0\}$ ?

A complexidade de Moore det modulo é um número inteiro e Vandermonde det o mesmo? A complexidade do determinante de Vandermonde é $O(n\log^{2}n)$ (Página 644 do Manual de Ciência da Computação Teórica: Algoritmos e Complexidade Por Jan Leeuwen)

Postagem semelhante à atual: módulo determinante m

cc.complexity-theory algebraic-complexity

— T ....
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O determinante de Moore pode mesmo ser calculado no tempo O (n ^ 3) (em uma RAM inteira)?

— Jeffε

@ Jɛ ff E É por isso que eu mencionei modulo aleatório

N \in N

$N \in \mathbb{N}$ .

— T ....

A propósito, e estou curioso, existem aplicativos conhecidos que se beneficiariam desse algoritmo "super-rápido"?

— Juan Bermejo Vega

FFE, por acaso você sabe se computar uma exponenciação modular dobro sobre

está em BPP para trivial

?. Porque isso é um problema para calcular os coeficientes da matriz.

ε

$\varepsilon$

N

$N$

N

$N$

— Juan Bermejo Vega

Respostas:

Em geral, existe um algoritmo de tempo para encontrar a decomposição da LU de uma matriz arbitrária usando o algoritmo Coppersmith – Winograd , que obviamente produz o determinante (adicionando tempo ). Existe um problema, no entanto, que o algoritmo Coppersmith – Winograd não é considerado utilizável na prática. Afaik, as pessoas usam principalmente o algoritmo Strassen de tempo . O lu_factorize do Boost UBLAS não usa isso? $O(n^{2.376})$ $O(n)$ $O(n^{2.807})$

No seu caso, a matriz de Moore deve admitir otimizações consideráveis, porque basicamente qualquer procedimento de eliminação gaussiano como a decomposição da LU pode ser feito abstratamente. De fato, você encontrará uma boa fórmula para calcular o determinante de Moore referenciado pela wikipedia , o que presumivelmente se prova simplesmente calculando a decomposição da LU em geral. $O(n)$

— Jeff Burdges
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Oi Jeff: Qual referência você está referenciando para a fórmula O (n ^ 2). Penso que Vandermonde det pode ser calculado em O (nlogn), mas não consigo encontrar referência. Então Moore det também deveria estar em O (nlogn)?

— T ....

Sim, eu deveria ter dito O (n) obviamente, realmente O (n log n) para n grande.

— precisa saber é o seguinte

Oi Jeff: Você tem uma referência?

— T ....

@JeffBurdges: se o tempo de execução é O (n log n) "para n grande", então, por definição, o tempo de execução é O (n log n), não O (n).

— Jeffε

O (n)

$O(n)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

$\mathbb{Z}_m$ $m$ $a^{q^e}\mod m$ $O(\log (mn) \; M(\log m))$

a^{q^{i}} \equiv a^{q^{i} (\mod φ (m))} (\mod m)

$a^{q^i}\equiv a^{q^i\pmod{\varphi(m)}}\pmod m$

m

$m$

Se for primo ou puder ser fatorado com eficiência, a pior complexidade é dominada pelo número de etapas necessárias para a multiplicação de matrizes . Por exemplo, a abordagem de forma normal de Smith que mencionei no post do parceiro calcularia o determinante no tempo se você usar "slow" algoritmos de multiplicação . pode ser escolhido como 2.373. $m$ $O(n^\omega)$ $O\left( n^\omega \; \log^2m\; \log (mn) \right)$ $^*$ $\omega$

Você tem uma desaceleração em Moore vs Vandermonde, pois é necessário exponenciar duas vezes os coeficientes da matriz. Quando você pode fatorar essa desaceleração é polilogarítmica em . Caso contrário, o algoritmo apresentado fornece uma redução de Cook para Exponenciação Modular Dupla em . $m$ $m$ $\mathbb{Z}_m$

Nota *: algoritmos mais rápidos para multiplicação de números inteiros permitem substituir por . $\log^2 m$ $M(\log m \log\log m)$

Atualização : sobre a possibilidade de obter . $O(n\log^a n)$

Não tenho uma resposta definitiva para isso, mas encontrei algumas informações que podem restringir sua pesquisa.

Algoritmos para matrizes estruturadas que calculam quantidades como determinantes no tempo são chamados "super-rápidos" na literatura. Todos os algoritmos "super-rápidos" conhecidos para matrizes estruturadas (Vandermonde, Toeplitz, Hankel) parecem confiar em uma propriedade comum dessas matrizes conhecida como "classificação de deslocamento" baixa. Consulte a discussão no primeiro capítulo deste livro (páginas de acesso aberto) ou neste artigo [ACM] , [PDF] . $O(n\log^a n)$

Pelo que li, dado um Moore matriz , se você fosse capaz de encontrar matrizes , tal que a nova matriz (ou, alternativamente, ) tem a seguinte estrutura $m\times n$ $M$ $A$ $B$ $L(M)=AM-MB$ $L(M)=M- AMB$

L (M) = \sum_{k = 1}^{r} g_{k} h_{k}^{T}

$L(M) = \sum_{k=1}^r g_k h_k^T$

e a classificação é pequena (constante ou delimitada por ), então você pode aplicar técnicas existentes (consulte o capítulo 5 do livro, abra acessar páginas) para triangularizar e, portanto, calcular , usando . Acima, , denotam vetores. Se você não encontrar o livro acima para ler a coisa toda, este artigo também possui muitas informações sobre esses métodos. $r>0$ $o(\text{min} \;\{m,n\})$ $M$ $\det{M}$ $O(n\log^2 n)$ $g_k$ $h_k$

Infelizmente, não consegui encontrar uma estrutura de baixo deslocamento para a matriz de Moore (Vandermonde). A principal complicação aqui parece surgir da natureza "não linear" da dupla exponencial. Se ajudar, os casos de Vandermonde, Cauchy, Toeplitz e Hankel são elaborados no livro.

— Juan Bermejo Vega
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Eu posso fazer minha matriz viver em um campo de caractere . No entanto, o tamanho dos alfabetos para o meu aplicativo pretendido será grande. Então tem a forma para um suficientemente grande .

3

$3$

m

$m$

3^{k}

$3^{k}$

k

$k$

— T ....

Isso é bom, desde que você pode calcular a função totient de :)

3^{k}

$3^k$

— Juan Bermejo Vega

bem, isso não simplifica a complexidade, eu diria que o campo é muito, muito grande.

— T ....

Simplifica os problemas mencionados com a dupla exponenciação. Como , você pode usar o teorema de Euler para exponenciar duas vezes : primeiro, calcule , então . Você pode fazer isso no tempo . Usando o algoritmo de multiplicação de escolas, , e você obteria um custo final "netto" de o que é eficiente.

φ (3^{k}) = 3^{k} - 3^{k - 1}

$\varphi(3^k)=3^k-3^{k-1}$

a^{q^{i}} \mod m

$a^{q^i}\mod m$

b = q^{i} \mod φ (3^{k})

$b=q^i\mod \varphi(3^k)$

a^{b} \mod 3^{k}

$a^b\mod 3^k$

O (\log (n 3^{k}) M (k \log 3))

$O(\log(n3^k)M(k \log3))$

M (n) = n^{2}

$M(n)=n^2$

O (n^{ω} k^{2} l o g^{2} 3 (\log n + k \log 3))

$O(n^\omega k^2 log^2 3 (\log n + k\log 3))$

— Juan Bermejo Vega

Podemos substituir por ? Essa é a redução de custos em que estou curioso (pode ser possível na estrutura da matriz). Com , não ganho nada para o meu propósito.

ω

$\omega$

1 + ϵ

$1 + \epsilon$

ω \geq 2

$\omega \ge 2$

— T ....