Soma aproximada de uma lista classificada

Recentemente, trabalhei no problema para calcular a soma aproximada de uma lista de números não negativos classificados. Para qualquer fixo $\epsilon>0$ , um Esquema do tempo de aproximação foi derivado de modo a que ele dá uma -approximation para a soma. O artigo está publicado em http://arxiv.org/abs/1112.0520 , que não foi finalizado.$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

Eu estava procurando trabalhos existentes para esse problema, mas só consegui alguns artigos relacionados remotamente e os citei. Este problema foi estudado antes? Se alguém souber de alguma pesquisa existente sobre esse problema, entre em contato. Agradeço a ajuda e atualizo as citações de acordo. Se os resultados forem antigos, o papel será despejado em uma lata de lixo.

Esse problema foi resolvido no artigo a seguir, onde os problemas mais gerais são abordados principalmente: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/ .

Depois de ler os detalhes da prova do artigo do conjunto de cores de Har-Peled , agora entendo que seu método implica um algoritmo de tempo O (log n) para a soma aproximada de números não negativos classificados. O conjunto de cores é formado por um subconjunto de números na lista classificada e suas posições dependem apenas do tamanho da lista ne da razão de aproximação epsilon. Os pesos de todos os pontos no conjunto de cores são computáveis ​​no tempo O (log n). Assim, ele traz um algoritmo de tempo O (log n) para a soma aproximada de uma lista classificada, embora não seja claramente reivindicado no artigo. Como o algoritmo está oculto na prova da construção de núcleos em vez dos teoremas reivindicados no artigo de Har-Peled, não vi essa conclusão logo após verificar os resultados no artigo.

Revisei meu trabalho excluindo a seção 4 que contém um algoritmo de tempo O (log n). O artigo de Har-Peled é citado na versão atualizada. O primeiro algoritmo ainda é mantido, pois possui uma complexidade incomparável com o tempo O (log n). Por exemplo, ele é executado no tempo O (log log n) quando os números na lista classificada de entrada estão no intervalo de 0 a (log n) ^ {O (1)}. O algoritmo é baseado em uma pesquisa de região quadrática, que é muito diferente da construção do conjunto de cores. Os limites mais baixos de tempo também são mantidos, mas ligeiramente revisados.

Agora, tenho uma ideia melhor sobre os trabalhos nesta linha. Eu realmente aprecio a ajuda profissional dos colegas teóricos de ciência da computação deste site, que fornece um excelente feedback. Meu artigo revisado estará disponível no mesmo site de arquivamento nos próximos dias. Sinceramente, saúdo outros comentários sobre referências relacionadas que podem ser perdidas.

Bin Fu

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\varepsilon > 0$$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$