Quais são alguns problemas em que sabemos que temos um algoritmo ideal?

Quais são alguns problemas não triviais em que sabemos que o algoritmo atual que temos é o ideal assintoticamente ideal? (Para máquinas de turing)

E como isso é provado?

Qualquer algoritmo que leva tempo linear e precisa ler toda a sua entrada deve ser assintoticamente ideal. Da mesma forma, como comenta Raphael, qualquer algoritmo cujo tempo de execução seja da mesma ordem que o tamanho da saída é ideal.

Se a medida de complexidade que você está considerando é a complexidade da consulta, ou seja, o número de vezes que a máquina precisa examinar a entrada para resolver um problema específico, existem muitos problemas para os quais temos algoritmos ideais. A razão para isso é que limites mais baixos para a complexidade da consulta são mais fáceis de alcançar do que limites mais baixos para a complexidade do tempo ou espaço, graças a algumas técnicas populares, incluindo o método adversário .

A desvantagem, no entanto, é que essa medida de complexidade é quase excessivamente usada no processamento de informações quânticas, pois fornece uma maneira fácil de provar uma lacuna entre o poder computacional clássico e quântico. O algoritmo quântico mais notório nessa estrutura é o algoritmo de Grover . Dada uma sequência binária para a qual existe um único tal que , você deve encontrar . Classicamente (sem um computador quântico), o algoritmo mais trivial é ideal: você precisa consultar essa sequência vezes, em média, para encontrar . Grover forneceu um algoritmo quântico que o faz em$x_1,\dots ,x_n$$i$$x_i=n$$i$$n/2$$i$$O(\sqrt n)$consultas para a string. Isso também se mostrou ótimo.

• Se você estiver disposto a alterar seu modelo, há limites muito baixos nas estruturas de dados. Consulte Limites inferiores para estruturas de dados para obter referências sobre boas referências para limites inferiores nas estruturas de dados.
• No limite de para classificação no modelo de comparação que algumas pessoas mencionaram aqui, você pode obter um limite semelhante para o problema do casco convexo, considerando o caso em que a entrada é composta de pontos ao longo do gráfico de uma função crescente no primeiro quadrante do plano.$\Omega(n log n)$

1. A classificação por comparação usando comparações (classificação por mesclagem, para citar um) é ideal; a prova envolve simplesmente o cálculo da altura de uma árvore com n ! folhas.$O (n \log n)$$n!$

2. Supondo que a Unique Games Conjecture, Khot, Kindler, Mossel e O'donnell mostraram que é NP-completo aproximar o Max-Cut melhor do que o algoritmo de Goemans e Williamson. Portanto, nesse sentido, G&W é ideal (assumindo também que ).$P\neq NP$

3. Alguns algoritmos distribuídos podem ser ótimos em relação a algumas condições (por exemplo, a proporção de processadores adversários), mas desde que você mencionou as máquinas de Turing, acho que esse não é o tipo de exemplo que você está procurando.

Suponha que você está dado entrada e pede para decidir se a máquina RAM M termina na entrada x depois de t passos. Pelo teorema da hierarquia temporal, o algoritmo ideal para decidir isso é simular a execução de M ( x ) para etapas t , o que pode ser feito no tempo O ( t ) .$w = \langle M, x, t \rangle$$M$$x$$t$$M(x)$$t$$O(t)$

(Nota: para máquinas de Turing, a simulação da execução de executa etapas O ( t log t ) ; sabemos apenas um limite inferior de Ω ( t ) . Portanto, isso não é ideal para as máquinas de Turing especificamente).$M$$O(t \log t)$$\Omega(t)$

Existem outros problemas que contêm a versão do problema de interrupção como um sub-caso. Por exemplo, decidir se uma sentença é uma conseqüência do WS1S leva tempo 2 ↑ ↑ O ( | θ | ) e isso é ideal.$\theta$$2 \uparrow \uparrow O(|\theta|)$

Não sei ao certo o que você quer dizer com "não trivial", mas e quanto a isso? . Portanto, esse idioma não é regular, qualquer TM que decide que deve executar em Ω ( n log n ) . O algoritmo simples (cruzando todos os outros 0) é ideal.$L = \{0^{2^k} | k \geq 0\}$$\Omega(n \log n)$

Se você permitir problemas dinâmicos na estrutura de dados, conheceremos algoritmos ótimos de tempo super-lineares. Isso está no modelo de sonda de célula, que é tão forte quanto a palavra RAM, ou seja, este não é um modelo restrito, como árvores de decisão algébricas.

Um exemplo é manter as somas de prefixo sob atualizações dinâmicas. Começamos com uma matriz de números , e o objetivo é manter uma estrutura de dados que permita as seguintes operações:$A[1], \ldots, A[n]$

• Adicione a A [ i ] , dados i e $\Delta$$A[i]$$i$$\Delta$
• Calcule a soma do prefixo , dado $\sum_{j = 1}^i{A[i]}$$i$

Você pode suportar facilmente as duas operações em tempo com uma estrutura de dados baseada em uma árvore binária aumentada com A [ i ] nas folhas. Patrascu e Demaine mostraram que isso é ótimo: para qualquer estrutura de dados, há uma sequência de n adições e consultas de soma de prefixos que devem levar Ω ( n log n ) tempo total.$O(\log n)$$A[i]$$n$$\Omega(n\log n)$

$\{1, \ldots n\}$

• $i$$j$$i$$j$
• $i$$i$

$O(\alpha(n))$$\alpha$$n$$\Omega(n\alpha(n))$

Muitos algoritmos de streaming têm limites superiores que correspondem aos limites inferiores.

existem dois algoritmos de busca um tanto semelhantes que [meu entendimento é] são ótimos com base em restrições específicas na ordem / distribuição de entrada. no entanto, as apresentações dos algoritmos normalmente não enfatizam essa otimização.

• a seção áurea busca encontrar o máximo ou o mínimo (extremo) de uma função unimodal. assume que a entrada é uma função unimodal. encontra-o em tempo logarítmico, em média. pelo que me lembro, pode ter havido uma prova de otimalidade no livro Estrutura e Interpretação de Programas de Computador por Abelson & Sussman.

• a pesquisa binária encontra um ponto no tempo logarítmico, em média, em uma lista classificada, mas requer que a entrada seja classificada.

^{estou citando a Wikipedia acima, mas ela não tem as provas de que elas são ótimas, talvez outras referências que provam a otimização possam ser encontradas pelo público.}

Muitos algoritmos de tempo sublinear têm limites superiores que correspondem aos limites inferiores.