Princípio Minimax de Yao sobre algoritmos de Monte Carlo

O célebre Princípio Minimax de Yao declara a relação entre complexidade distributiva e complexidade aleatória. Vamos haver um problema com um conjunto finito de entradas e um conjunto finito do algoritmo determinista para resolver . Também deixe denotar a distribuição de entrada e denote a distribuição de probabilidade em . O princípio declara $P$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{A}$ $P$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{A}$

min_{A \in A} E c o s t (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t (R, x) for all D and R .

$\min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost(\mathcal{R},x) \quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$ and $\mathcal{R}$}.$ Essa prova segue diretamente do teorema do minimax de von Neumann para jogos de soma zero.

Principalmente o princípio de Yao trata apenas dos algoritmos de Las Vegas , mas pode ser generalizado para os algoritmos de Monte Carlo da seguinte forma.

\frac{1}{2} min_{A \in A} E c o s t_{2 ϵ} (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t_{ϵ} (R, x) for all D, R and ϵ \in [0, 1 / 2]

$\frac12 \min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost_{2\epsilon}(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost_{\epsilon}(\mathcal{R},x)\quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$, $\mathcal{R}$ and $\epsilon\in [0,1/2]$}$ onde

c o s t_{ϵ} (\cdot, \cdot)

$cost_\epsilon(\cdot,\cdot)$ denota o custo dos algoritmos de Monte Carlo que erram probabilidade no máximo

ϵ

$\epsilon$ .

No artigo original de Yao , a relação para os algoritmos de Monte Carlo é dada no Teorema 3 sem prova. Alguma dica para provar isso?

randomized-algorithms

— Federico Magallanez
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Este é apenas um comentário estendido sobre a resposta de Marcos, usando sua notação. Não sou capaz de acompanhar os detalhes de seu argumento, e o abaixo é bem curto e fácil.

média,

\sum_{UMA} q (UMA) \sum_{x} d (x) ϵ (UMA, x) = \sum_{x} d (x) \sum_{UMA} q (UMA) ϵ (UMA, x) \leq λ .

$\sum_A{q(A)\sum_x{d(x)\epsilon(A, x)}} = \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)\epsilon(A, x)}} \leq \lambda.$

O fato acima e a desigualdade de Markov implicam . $\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)} \geq 1/2$

Então temos:

\begin{aligned} max_{x} \sum_{A} q (A) r (A, x) & \geq \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) r (A, x) \\ = \sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq (\sum_{A \in β (2 λ)} q (A)) min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \end{aligned}

$\begin{align*} \max_x \sum_A{q(A)r(A,x)} &\geq \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)r(A, x)}}\\ &= \sum_A{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \left(\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)}\right) \min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \frac{1}{2}\min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}} \end{align*}$

— Sasho Nikolov
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Vou tentar isso. Vou usar a notação original de Yao. Dessa forma, será mais fácil contrastar com seu artigo e suas definições.

Seja um conjunto finito de entradas e seja um conjunto finito de algoritmos determinísticos que podem falhar em fornecer uma resposta correta para algumas entradas. Deixe também se fornecer a resposta correta para , e caso contrário. Denote também por o número de consultas feitas por na entrada , ou equivalente, a profundidade da árvore de decisão de $\mathcal{I}$ $\mathcal{A}_0$ $\epsilon(A,x)=0$ $A$ $x$ $\epsilon(A,x)=1$ $r(A,x)$ $A$ $x$ $A$

Custo médio: dada uma distribuição de probabilidade em , o custo médio de um algoritmo é . $d$ $\mathcal{I}$ $A\in \mathcal{A}_0$ $C(A,d)=\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot r(A,x)$

Complexidade distributiva: Let . Para qualquer distribuição nas entradas, seja o subconjunto de fornecido por . A complexidade distributiva com erro para um problema computacional é definida como . $\lambda\in[0,1]$ $d$ $\beta(\lambda)$ $\mathcal{A}_0$ $\beta(\lambda)=\{A : A\in \mathcal{A}_0, \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda\}$ $\lambda$ $P$ $F_{1,\lambda}(P)=\max_{d} \min_{A\in \beta(\lambda)} C(A,d)$

$\lambda$ tolerância: Uma distribuição na família é tolerante se . $q$ $\mathcal{A}_0$ $\lambda$ $\max_{x\in \mathcal{I}} \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda$

Custo esperado: para um algoritmo aleatório , seja uma distribuição de probabilidade tolerante a em . O custo esperado de para uma determinada entrada é . $R$ $q$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$ $R$ $x$ $E(R,x)=\sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(A)\cdot r(A,x)$

Complexidade aleatória: Let . A complexidade aleatória com o erro é . $\lambda\in[0,1]$ $\lambda$ $F_{2,\lambda}=\min_R \max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)$

Agora estamos prontos para entrar nos negócios. O que queremos provar é dada uma distribuição nas entradas e um algoritmo aleatório (ou seja, uma distribuição em ) $d$ $R$ $q$ $\mathcal{A}_0$

Princípio Minimax de Yao para algoritmos de Montecarlo para .
$max_{x \in I} E (R, x) \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} C (A, d)$ $\begin{equation}\max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)\geq \frac{1}{2}\min_{A\in \beta(2\lambda)} C(A,d) \end{equation}$ $\lambda\in[0,1/2]$

Vou seguir uma abordagem dada por Fich, Meyer auf der Heide, Ragde e Wigderson (ver Lema 4). Sua abordagem não produz uma caracterização para os algoritmos de Las Vegas (apenas o limite inferior), mas é suficiente para nossos propósitos. Pela prova deles, é fácil ver que, para qualquer e $\mathcal{A}_0$ $\mathcal{I}$

Reivindicação 1. . $\max_{x\in \mathcal{I}} E(R,x)\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0} C(A,d)$

Para obter os números corretos, faremos algo semelhante. Dado que a distribuição de probabilidade dada pelo algoritmo aleatório $q$ $R$ é tolerante em , temos que $\lambda$ $\mathcal{A}_0$ Se substituirmos a famíliapor, vemos que

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in A_{0}} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in A_{0}} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in A_{0}} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} . \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{align*}$

A_{0}

$\mathcal{A}_0$

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in β (2 λ)} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\beta(2\lambda)} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \frac{1}{2}\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}, \end{align*}$

onde a segunda desigualdade segue porque , e a última desigualdade é dada pela definição de onde a soma dividida por 2 não pode ser maior que . Assim, $\beta(2\lambda) \subseteq \mathcal{A}_0$ $\beta(2\lambda)$ $\lambda$

max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} .

$\begin{equation}\max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\geq\frac{1}{2} \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{equation}$

De notar que a mapeia a e mapeia para e acordo com a reivindicação 1 acima, podemos agora seguramente substituir a função na desigualdade acima por para se obter o desejado desigualdade. $\epsilon$ $\{0,1\}$ $r$ $\mathbb{N}$ $\epsilon$ $r(A,x)$

— Marcos Villagra
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Existe uma breve explicação de onde vem o fator 2?

— Robin Kothari 11/11

em resumo, vem da definição de

. O somatório da definição dividida por 2 é no máximo

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$

λ

$\lambda$

— Marcos Villagra

max_{A \in β (2 λ))} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x), ϵ (A, x)} \leq λ

$\max_{A \in \beta(2\lambda))} \left\{\frac{1}{2} \sum_{x \in \mathcal{I}}{d(x), \epsilon(A,x)}\right\} \leq \lambda$

ϵ

$\epsilon$

r

$r$

em relação à sua primeira pergunta, adicionei mais detalhes.

— Marcos Villagra