Equivalência do modelo LEN

A posição inicial é um modelo de agente principal com informações incompletas (risco moral) e as seguintes propriedades:

Utilitário do agente: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Utilidade principal: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Níveis de esforço $e\in \Bbb R$
$x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Contrato: $w(x)=a+bx$ ,

onde $r_A$ e $r_P$ é a medida de Arrow-Pratt de aversão ao risco absoluta para o agente e o principal, respectivamente.

Estou procurando o contrato ideal para o principal oferecer ao agente quando o esforço do agente não é visível. O utilitário do principal pode ser escrito da seguinte maneira:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Quero mostrar que a seguinte equivalência é válida, o que significa que a maximização da utilidade do principal pode ser escrita como o RHS da seguinte equivalência:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

onde $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ é a função de densidade de uma variável aleatória normal $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ , com valor esperado $\mu(e)$ e variação $\sigma>0$ .

Tentei usar a forma explícita de $f(x|e)$ no LHS, manipulá-lo um pouco e depois integrar, mas não consegui a equivalência.

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
fonte

O ponto principal é que a utilidade esperada do principal a partir de uma recompensa condicional a um certo nível de esforço pode ser escrita como $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

Em outras palavras, como a riqueza é normalmente distribuída, a utilidade exponencial tem uma representação simples de "variação média". Para uma derivação, veja aqui .

Suponho que o pagamento do principal seja igual a . É então simples calcular a média e a variância (condicionais) de : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Segue-se que a utilidade esperada do principal pode ser escrita como

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$