“$ \ Backslash $” pergunta de notação em definição para o equilíbrio de Nash

Uma definição em meus estados de livro

$ \ sigma ^ * \ in \ Delta $ é um Equilíbrio de Nash para $ \ Gamma $ if for all $ i \ in I $ e all $ \ mu_i \ in \ Delta_i, \; U_i (\ sigma ^ *) \ geq U_i (\ sigma ^ * \ barra invertida \ mu_i) $. O conjunto de equilíbrios de Nash para $ \ Gamma $ é denotado por $ Eq (\ Gamma) $

O que o $ \ backslash $ here representa, divide ou elemento não incluído?

mathematical-economics

— Sunhwa
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O que você sabe sobre a definição do equilíbrio de Nash em palavras , em vez da definição matemática formal?

— EnergyNumbers

Nada, esta é a primeira vez que ouvi sobre isso.

— Sunhwa

Eu folheei a página da Wikipedia, eles usam a notação: $$ \ forall i, x_i \ in S: f_i (x_i ^ *, x _ {- 1} ^ *) \ geq f_i (x_i, x _ {- 1} ^ *) $$ Onde eu acho que o $ x _ {- 1} ^ * $ significa as ações de equilíbrio nash (melhor resultado por não mudar) de todos os outros jogadores (sem jogador $ i $). Mas ainda assim, não vejo como a notação na minha pergunta diz isso.

— Sunhwa

A definição é bastante estranha. Qual é a referência? Nunca vi isso antes. Em seu comentário anterior, ele provavelmente deveria ler $ -i $.

— clueless

Com relação à entrada do wiki, você pode definir $ x_i ^ * \ in \ arg \ max_ {x_i \ em S_i} f_i (x_i, x _ {- i} ^ *) $.

— clueless

Informalmente, um conjunto (possivelmente misto) de escolhas estratégicas é um equilíbrio de Nash se nenhum jogador puder esperar se beneficiar mudando estratégias enquanto os outros jogadores mantêm suas estratégias inalteradas.

Aqui eu interpretaria sua definição como $ \ Delta $ sendo o conjunto de todas as escolhas estratégicas possíveis em todos os jogadores, $ \ sigma ^ * $ sendo um conjunto de escolhas de estratégia que será um equilíbrio de Nash se satisfizer as condições, $ i $ sendo um jogador, e $ \ sigma ^ * \ backslash \ mu_i $ sendo uma mudança na estratégia do jogador $ i $ enquanto as estratégias dos outros jogadores permanecem as mesmas. Então eu levaria $ \ backslash $ tendo um tipo de interpretação "não incluída".

— Henry
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Isso faz sentido se definirmos $ \ sigma ^ * \ setminus \ mu_i: = (\ ldots, \ sigma ^ * _ {i-1}, \ mu_i, \ sigma ^ * _ {i + 1}, \ ldots) $ . No entanto, é mais convencional e intuitivo se você escrever $ U_i (\ sigma ^ * _i, \ sigma _ {- i} ^ *) \ geq U_i (\ mu_i, \ sigma _ {- i} ^ *) \ forall \ mu_i \ in \ Delta_i $, em que $ \ sigma ^ * _ {- i}: = (\ ldots, \ sigma ^ * _ {i-1}, \ sigma ^ * _ {i + 1}, \ ldots) \ in \ Delta \ setminus \ Delta_i $.

— clueless