Externalidades - Condições de primeira ordem

Atualmente, estou lendo sozinho o livro "Microeconomia: Princípios e Análise", de Cowell. Estou lendo o capítulo sobre externalidades e encontrei um exemplo interessante:

Existem apenas duas firmas: a firma 1 é poluidora e a firma 2 é a vítima. A empresa 2 (vítima) faz uma oferta de subvenção ou suborno à empresa 1. O suborno é uma quantia condicionada à quantidade de produção que a empresa 1 gera: quanto maior a poluição, menor é o suborno; modelamos o suborno como uma função decrescente β (⋅).

O problema de otimização é

Minha pergunta é como eles chegaram a esses FOCs?

ATUALIZAÇÃO: A segunda parte dessa otimização é examinar o problema da perspectiva da empresa 1, e segue-se assim: Agora, observe o problema do ponto de vista da empresa 1. Depois que a empresa vítima fizer sua oferta de suborno condicional, A empresa 1 deve levar isso em conta. Portanto, seus lucros devem ficar assim

Isto é da FACowell - Microeconomia - Princípios e Análise p.444-445

— user10699
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i

$i$

j

$j$

q_{i}^{j}

$q_i^j$

J = 1,2, dependendo se a sua firme 1 produzindo o q saída ou firme 2

— user10699

i = 1 ou 2, condição de primeira ordem WRT para firmar um primeiro e WRT para firmar 2, i acreditam

— user10699

OP você está familiarizado com derivadas parciais?

— Lee Sin

$1$ $2$

$\mathbf{q}^2$ $\beta$ $\mathbf{q}^2$ $n$ $\mathbf{q}^2=\left(q_1^2,q_2^2,\ldots,q_n^2\right)$

$(13.9)$ $(13.8)$ $q_i^2$ $(13.8)$

p_{1} q_{1}^{2} + p_{2} q_{2}^{2} + \dots + p_{i} q_{i}^{2} + \dots + p_{n} q_{n}^{2} - β (q_{1}^{1}) - μ_{2} Φ^{2} (q_{1}^{2}, \dots, q_{i}^{2}, \dots, q_{n}^{2}, q_{1}^{1})

$p_1q_1^2+p_2q_2^2+\cdots+p_iq_i^2+\cdots+p_nq_n^2-\beta\left(q_1^1\right)-\mu_2\Phi^2\left(q_1^2,\ldots,q_i^2,\ldots,q_n^2 ,q_1^1\right)$

$q_i^2$ $0$

p_{i} - μ_{2} \frac{\partial Φ^{2} (q^{2}, q_{1}^{1})}{\partial q_{i}^{2}} = 0

$p_i - \mu_2 \frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_i^2} = 0$

$\Phi^2_i$ $\Phi^2$ $q_i^2$

$\beta$ $\beta(\cdot)$ $q_1^1$ $q_1^1$ $\beta$ $q_1^1$ $\beta$ $\beta$ $2$ $1$ $1$

$\beta$

- 1 - μ_{2} \frac{\partial Φ^{2} (q^{2}, q_{1}^{1})}{\partial q_{1}^{1}} \frac{d q_{1}^{1}}{d β} = 0

$-1 -\mu_2\frac{\partial\Phi^2 \left( \mathbf{q}^2,q_1^1 \right)}{\partial q_1^1} \frac{dq_1^1}{d\beta}=0$

\frac{d q_{1}^{1}}{d β} < 0

$\frac{dq_1^1}{d\beta}<0$

μ_{2}

$\mu_2$

— Economista Teórico
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você pode fazer o mesmo, mas agora da perspectiva da empresa 1?

— precisa saber é o seguinte

Eu poderia, mas é essencialmente exatamente o mesmo. Se você realmente quer aprender isso, deve fazê-lo por conta própria - aprenderá mais dessa maneira.

— Theoretical Economist

mas eu quero saber se estou fazendo a coisa certa, então se você rumina que seria ótimo

— user10699

Por que você não publica o que fez (possivelmente em uma pergunta separada) para que outras pessoas possam comentar se você fez corretamente?

— Theoretical Economist

apenas olhando para os focos da empresa 1, em (13:14) 11q11 e em (13:15) ∂q12, embora eu não tenha certeza de como isso daria p1q1i em (13:14)

— user10699