Limites uniformes na taxa de fusão para alunos Bayesianos

Atualizar. Cross postado em Cross Validated .

Em um artigo bem conhecido, Blackwell & Dubins (1962) mostram que as probabilidades posteriores de dois agentes bayesianos, cujos anteriores concordam com eventos da medida , se tornarão arbitrariamente próximas umas das outras sob um fluxo crescente de informações. $0$

Matematicamente, o resultado é o seguinte. Seja um espaço de probabilidade filtrado com . Vamos ser uma probabilidade em com . Então, Dizemos que e se fundem fortemente . $(\Omega, \mathcal{F}, \{\mathcal{F}_n\}, Q)$ $\mathcal{F}_n \uparrow \mathcal{F}$ $P$ $(\Omega, \mathcal{F})$ $Q \ll P$

d (P^{n}, Q^{n}) : = sup_{UMA \in F} | P (UMA ∣ F_{n}) - Q (UMA ∣ F_{n}) | \to 0 0 Como Q Como n \to \infty .

$d(P^n, Q^n): = \sup_{A \in \mathcal{F}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

P

$P$

Q

$Q$

Num artigo mais recente e também muito influente, Kalai e Lehrer (1994) introduzem a noção de fusão fraca . A definição é como acima, exceto que $\sup$ é assumido sobre eventos de horizonte finito; eventos de cauda são ignorados:

W (P^{n}, Q^{n}) : = sup_{UMA \in F_{n + 1 1}} | P (UMA ∣ F_{n}) - Q (UMA ∣ F_{n}) | \to 0 0 Como Q Como n \to \infty .

$w(P^n, Q^n) : = \sup_{A \in \mathcal{F}_{n+1}}|P(A \mid \mathcal{F}_n) - Q(A \mid \mathcal{F}_n)| \to 0 \text{ a.s. $Q$ as } n \to \infty.$

Para uma fusão fraca, é possível encontrar limites uniformes na taxa de convergência (Fudenberg & Levine, 1992; Sorin, 1999). Gostaria de saber se existem resultados nessa direção para uma fusão forte.

— Comunidade
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Isso deve ser transferido para Cross Validated ou Mathematics. É mais provável que as pessoas desses quadros estejam cientes de documentos específicos sobre sequências de funções convergentes para uma função limitadora. Estou muito interessado na resposta, embora isso esteja relacionado a uma pergunta na qual estou trabalhando. Não conheço nenhum.

— Dave Harris

@DaveHarris Infelizmente, o pessoal da MSE não parece muito familiarizado com esta literatura. Já fiz perguntas sobre a Blackwell & Dubins antes. Tem certeza de que a pergunta não deve ser deixada aqui? A fusão fraca é discutida extensivamente em revistas de economia por economistas. Embora, concordo, é claro, que o assunto possa ser um pouco mais técnico do que a pergunta média postada aqui.

Eu não sei. É uma pergunta válida aqui, se um pouco esotérica para este grupo. Há uma audiência estreita para isso. Em parte, é porque existem suposições fortes e implícitas sobre informações, preferências e incentivos, bem como a vida de um jogo. Temos uma amostra arbitrariamente grande da evolução e da redondeza da terra, mas Ken Ham e o Cavalier, da Terra plana, foram noticiados nesta semana. O infinito é muito tempo.

— Dave Harris

De fato, faz muito tempo. E é exatamente por isso que quero entender melhor a taxa de fusão. Enfim, acho que sua sugestão para postar na Cross Validated é boa, e já a fiz. Suspeito que este seja um problema em aberto, embora esperemos que alguns leads surjam.

Este artigo de Acemoglu, Chernozhukov e Yildiz (2016) e suas referências podem ser interessantes.

Os resultados que eles obtêm estão em um ambiente muito mais limitado, mas acho que eles ainda apontam para a direção que você está procurando. Caso contrário, a revisão da literatura também deve ser útil.

— Economista Teórico
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Desculpas pela breve resposta - este tópico está um pouco longe para mim. No entanto, suspeito que ainda deve ser um pouco útil.

— Economista Teórico

Obrigado por isso. Tentarei lê-lo nos próximos dias e informar sobre quaisquer resultados relevantes.

Ótimo; deixe-me saber. Eu também estou curioso. E eu posso ter falado cedo demais sobre o quão limitados os resultados são - um pouco mais de escassez sugere que está mais próximo da formulação de Blackwell e Dubins do que eu pensava inicialmente.

— Economista Teórico

Tendo analisado o modelo, mas não todos os resultados, parece que eles estão interessados em um fenômeno um pouco diferente, que eles explicam informalmente na p.193. Ainda assim, o jornal parece interessante e provavelmente vou continuar lendo.