As preferências de Cobb-Douglas são homotéticas?

Nossa palestra definiu uma preferência como homotética , se o seguinte for verdadeiro:

$$(x_1, x_2) \thicksim (y_1, y_2) \Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \thicksim (ky_1, ky_2)$$

As preferências do Cobb-Douglas podem ser exibidas como algumas funções utilitárias do seguinte formato:

$$u(x_1, x_2) = x_1^a \cdot x_2^b$$ Portanto: $$(x_1, x_2) \thicksim (y_1, y_2) \\ \Leftrightarrow x_1^a \cdot x_2^b = y_1^a \cdot y_2^b \\ \Leftrightarrow k^ax_1^a \cdot k^bx_2^b = k^ay_1^a \cdot k^by_2^b \\ \Leftrightarrow (kx_1, kx_2) \thicksim (ky_1, ky_2)$$

Com essa argumentação, as preferências de Cobb-Douglas devem ser homotéticas .

O artigo da Wikipedia sobre preferências homotéticas , no entanto, definiu uma preferência homotética , se elas puderem ser representadas por uma função de utilidade e o seguinte for verdadeiro:

$$u(kx_1, kx_2) = k \cdot u(x_1, x_2)$$ E tenho certeza de que isso não é verdade para as preferências de Cobb Douglas :

$$u(kx_1, kx_2) = (kx_1)^a (kx_2)^b = k^{a+b} x_1^a x_2^b \neq k \cdot u(x_1, x_2)$$

Então, o que estou perdendo aqui? As definições não são equivalentes? Eu calculei algo errado?

Observe que o artigo da wikipedia é muito específico:

[...] definiu uma preferência como homotética , se PODE ser representada por uma função utilitária [...]

Você escolheu uma função de utilitário específica para representar suas preferências Cobb-Douglas. No entanto, existem infinitamente muitos outros. Todas as transformações monotônicas da sua função de utilitário representam a mesma preferência. Pegue Como é uma transformação monotônica de , representa a mesma preferência. É simples verificar se preenche a condição estabelecida no artigo da wiki. Portanto, existe de fato uma função de utilidade, que também representa a preferência, portanto a preferência é homotética.

$$\hat{u}(x_1,x_2) = \left(u(x_1,x_2)\right)^{\frac{1}{a+b}} = x_1^{\frac{a}{a+b}} \cdot x_2^{\frac{b}{a+b}}.$$ $\hat{u}$$u$$\hat{u}$