Simplificando a função objetivo de uma monoplist sob informação incompleta


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Estou trabalhando no capítulo sobre triagem multidimensional de Rochet e Stohle (2003) , e estou lutando para preencher os espaços em branco entre a equação (2.1) p. 154, e sua forma simplificada na página 155. Em particular, a minha pergunta diz respeito:

Os consumidores são do tipo Θ = [ θ _ , ˉ θ ] com cdf F ( θ ) associado , que é absolutamente contínuo, e a função de densidade associada f ( θ ) = F ( θ ) . Esta é a distribuição de tipos.θ Θθ_θ¯F(θ)f(θ)F(θ)

Existe também uma relação de preferência para cada consumidor para : u = v ( q , θ ) - P com a propriedade de cruzamento simples v q θ > 0 . Estou adicionando isso para o contexto, mas todas as informações podem não ser necessárias para minha pergunta específica.qQ=[0,q¯]u=v(q,θ)Pvqθ>0

Isso torna uma função de utilidade indireta definida por:

u(θ)=maxqQ{v(q,θ)P(q)}

A empresa de monopólio está usando uma tarifa não linear, , e quer maximizar seu retorno esperado (estou pulando algumas informações não necessárias para minha pergunta sobre o que torna essa equação):P(q)

E(π)=θ_θ¯[S(q(θ),θ)u(θ)]dF(θ) equação (2.1) no texto

sujeito a:

du/dθ=vθ(q(θ),θ)

dq(θ)/dθ0

IR constraint

Note que a função não é importante para minha pergunta, portanto, não estou incluindo sua definição aqui.S(q(θ),θ)

Agora a minha pergunta. Os autores fazem uma simplificação do problema:

E(π)=θ_θ¯[S(q(θ),θ)1F(θ)f(θ)vθ(q(θ),θ)u(θ_)]dF(θ)

sujeito a:

dq(θ)/dθ0

IR constraint

Agora, isso para mim é o mesmo que dizer:

θ_θ¯u(θ)dF(θ)=θ_θ¯[1F(θ)f(θ)vθ(q(θ),θ)+u(θ_)]dF(θ)

E aqui é onde eu preciso de ajuda para preencher os passos. Como explicam os autores, isso é feito pela integração por partes e usando uma das restrições. Eu recebo algo assim:

θ_θ¯u(θ)dF(θ)=u(θ)F(θ)|θ_θ¯θ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ

Eu posso simplificar isso um pouco mais, mas isso não simplifica a expressão dos autores. Portanto, alguém pode me ajudar a preencher os espaços em branco?

Espero ter deixado informações suficientes, caso contrário, por favor, deixe-me saber o que preciso esclarecer.

Respostas:


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Eu vou começar da sua última equação.

θ_θ¯u(θ)dF(θ)=[u(θ)F(θ)]θ_θ¯θ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ=u(θ¯)F(θ¯)u(θ_)F(θ_)θ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ=u(θ¯)θ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ since F(θ¯)=1,F(θ_)=0=u(θ_)+(u(θ¯)u(θ_))θ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ=u(θ_)+θ_θ¯u(θ)dθθ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ=u(θ_)+θ_θ¯vθ(q(θ),θ)dθθ_θ¯F(θ)vθ(q(θ),θ)dθ since u=vθ=u(θ_)+θ_θ¯(1F(θ))vθ(q(θ),θ)dθ=u(θ_)+θ_θ¯1F(θ)f(θ)vθ(q(θ),θ)dF(θ)=θ_θ¯u(θ_)dF(θ)+θ_θ¯1F(θ)f(θ)vθ(q(θ),θ)dF(θ)=θ_θ¯[u(θ_)+1F(θ)f(θ)vθ(q(θ),θ)]dF(θ)
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