Por que a função de produção Cobb-Douglas é tão popular?

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Como analista quantitativo relativamente novato / analista de custos, me pediram para estimar o nível de produtividade de uma determinada organização mais de uma vez e, em seguida, prever os próximos períodos. O local em que trabalho é relativamente pequeno, sem fins lucrativos (cerca de 30 pessoas), dedicado à distribuição de doações de bancos de alimentos e solicitação de voluntários, por isso não tenho certeza se o tamanho da empresa tem algo a ver com isso.

Na maioria das vezes me pedem unidades específicas e não alterações percentuais ou elasticidades, então sou forçado a apresentar uma das duas funções de produção.

$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = Σ_{i = 1}^{n} β_{i} x_{i}$ $f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$
$f (x_{1}, . . ., x_{n}) = γ min (x_{1}, . . ., x_{n})$ $f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$

No entanto, quando leio literatura econômica, vejo o cobb douglas (ou alguma variação dela, como a pedra-gerry) sendo usado o tempo todo.

Eu sei que ele tem a propriedade de mostrar matematicamente retornos decrescentes de escala para um único fator de produção, no entanto, estou tendo dificuldades para vê-lo na minha linha de trabalho. É uma função de produção exclusiva para a fabricação de bens reais?

mathematical-economics production-function

— EconJohn
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Eu acho que uma boa propriedade da função de produção de CD é que seus parâmetros (os expoentes nas entradas) capturam a parcela das entradas na saída e, portanto, podem ser calibrados facilmente.

— Herr K.

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A razão pela qual as funções de produção da Cobb Douglas são tão populares decorre do fato de que as seguintes suposições são satisfeitas, permanecendo estatisticamente rigorosas ¹ :

Lembre-se do formulário da função de produção Cobb-Douglas:

F (K, A L) = K^{α} (A L)^{1 - α}

$F(K,AL)=K^{\alpha}(AL)^{1-\alpha}$

onde (ou seja, a parcela da produção que vai para o capital) $0<\alpha <1$

$1)$ Produtos marginais positivos:

\frac{\partial F (K, A L)}{\partial K} > 0, \frac{\partial F (K, A L)}{\partial (A L)} > 0

${\partial{F(K,AL)}\over{\partial K}}>0 \space , \space\space{\partial{F(K,AL)}\over{\partial (AL)}}>0$

$2)$ produtos marginais decrescentes (como você já mencionou)

\frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial K^{2}} < 0, \frac{\partial^{2} F (K, A L)}{\partial (A L)^{2}} < 0

${\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial K^2}}<0 \space , \space\space{\partial^2{F(K,AL)}\over{\partial (AL)^2}}<0$

$3)$ Retornos constantes à escala (é assim que a maioria dos processos de produção funciona)

F (λ K, λ A L) = λ F (K, A L)

$F(\lambda K, \lambda AL)= \lambda F(K, AL)$

para qualquer (por exemplo, "Entrada dupla Saída dupla do ") $\lambda \ge 0$ $\Rightarrow$

Espero que isto ajude!!

_{¹ Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

— FreakconFrank
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Como você sugere na sua pergunta, a verdadeira razão subjacente (na minha opinião) por trás da popularidade da função de produção de CD é a conveniência matemática. O fato de que a soma é uma representação intuitiva e agradável de "retornos à escala" é muito conveniente. $\alpha + \beta$

Penso em seu uso como semelhante ao uso de utilidades exponenciais ou de energia nas finanças matemáticas. Irrealista? Talvez, mas oh, mais amigável de se trabalhar.

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Ok, acho que fiz muitas suposições implícitas porque fiquei confuso com suas funções na última resposta, o que fez a minha resposta muito confusa. Então, tento ser um pouco mais explícito dessa vez. Vou considerar apenas sua primeira função.

Agora, se esta é uma função de produção, então são entradas e você só tem uma saída. Agora sua função de produção possui as seguintes propriedades: e . Isso implica que suas entradas são completamente independentes uma da outra. Você pode alcançar a mesma saída com apenas ou com apenas . Isso não faz sentido se suas entradas são Capital e Trabalho (pelo menos não até termos uma produção totalmente automatizada, onde você não precisa de um ser humano em nenhum lugar do processo de produção). Porque se um deles for 0 no mundo real, você não obterá saída. $x_i$ $\frac{df}{dx_i}=\beta_i$ $\frac{df}{dx_jdx_i}=0$ $x_1$ $x_2$

Essa consideração me levou a acreditar que os métodos de produção do seu modelo , o que implica que eles já contêm misturas de capital e trabalho. Nesse caso, você simplesmente otimizaria esses diferentes métodos de produção e escolheria o melhor. Aquele com a maior para custo. Porque, no nível da empresa, os custos marginais provavelmente seriam constantes. $x_1$ $\beta_i$

Este é um modelo razoável, do ponto de vista das empresas. Você só pode escolher entre esses métodos de produção, para que o fato de você juntar capital e trabalho não seja do seu interesse. Você otimiza a função e escolhe o melhor método de produção, considerando os custos fixos. A simplificação (presumida) é que você não considera como a expansão ou a produção altera o custo marginal dentro de um método de produção.

(Se a expansão fosse em escala econômica, você aumentaria o salário dos trabalhadores empregando mais deles, o que em algum momento resultaria na escolha de um método de produção pesada com mais capital)

Os economistas abordam isso de um ângulo diferente: estão interessados na razão Capital / Trabalho e não no método específico de produção. Eles querem uma função que tome Capital e Trabalho como insumo, selecione o melhor método de produção, dado esse insumo, e retorne um produto. Eles assumem que, nessa escala, existem muitos métodos diferentes de produção, que você pode escová-los e obter basicamente uma função contínua em Capital e Trabalho.

Eles querem um modelo que possua a propriedade fornecida pela função Cobb-Douglas. $\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Você está basicamente comparando simulação de partículas com simulação de fluidos. As equações para modelar uma única molécula de água serão diferentes da modelagem de um fluxo de água. E pode parecer que um não tem nada a ver com o outro.

A outra possibilidade em que pensei foi que essa função é realmente uma função de custo para produzir os resultados mas você tem um custo marginal fixo de por definição. Qual, novamente, é uma suposição razoável de ser feita no nível micro, mas não no nível macro. $(x_1, ...,x_n)$ $x_i$

— Felix B.
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É um tanto estranho que "Cobb-Douglas" não apareça em nenhum lugar da sua resposta.

— Giskard #

Cobb-Douglas é uma função para modelar a produção agregada tendo trabalho e capital como insumos e modelar o efeito de alterar a parcela de capital / trabalho na produção. (mudança de produtividade marginal do trabalho, dada a mudança de capital) Falo sobre como essas considerações sobre ações podem ser descartadas após a otimização para a produção de uma unidade, pois os custos marginais podem ser aproximados como constantes para as pequenas empresas.

— Felix B.

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A função de produção Cobb-Douglas é tão popular, apenas porque é uma das poucas funções para as quais você pode calcular explicitamente as funções de demanda de entrada (e fornecimento de saída). A função de produção Cobb-Douglas é geralmente usada no nível de bacharel (palestras, exames e exercícios) porque podemos resolver o sistema de condições de primeira ordem. No entanto, essa forma funcional é muito restritiva e sua validade é empiricamente rejeitada. De modo que, nos níveis mestres, reafirmamos a teoria microeconômica usando formas irrestritas para a função de produção (ver, por exemplo, o livro de Mas Colell et al.) E usamos o teorema da função implícita ou a teoria da dualidade para obter resultados estáticos comparativos.

— Bertrand
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