Homogêneo de grau um em função de utilidade.

Questão

Minha solução é a seguinte. Por favor, verifique minha solução. Se eu cometer um erro, por favor, diga. Não tenho muita certeza da minha solução. Obrigado

U (x) é homogêneo de grau um, isto é, u (tx) = tu (x)

Em primeiro lugar, mostro que a função de utilidade indireta é homogênea de grau um em m.

Pela maximização da utilidade,

V (p, m) = max u (x) sujeito a px m $\le$

tv (p, m) = max tu (x) sujeito a px m $\le$

Como u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) sujeito a px m $\le$

Então v (p, tm) = tv (p, m)

Essa é a função de utilidade indireta homogênea do grau um.

Eu mostro que a função de gasto é homogênea do grau um em u usando o resultado anterior.

Eu sei disso

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Como u (x) é homogêneo de grau um ev (p, m) é homogêneo de grau um em m, v (p, e (p, u)) deve ser homogêneo de grau um em e (p, u) .

Em outras palavras, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) mantém iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

ie A função cara e (p, u) é homogênea de grau um em u.

Agora vou mostrar que a demanda marshalliana x (p, m) é homogênea de grau um em m.

Pela identidade de Roy,

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Pelo primeiro resultado, como v (p, m) é homogêneo de grau um em m, então x (p, m) é homogêneo de grau um em m.

Agora vamos mostrar que a demanda hicksiana é homogênea de grau um em u.

Eu sei disso

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Como e (p, u) é homogêneo de grau um pela segunda parte,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) deve valer uma vez que a igualdade (1) existe.

Essa é a demanda hicksiana é homogênea de grau um em u.

— none009
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u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

A maneira como você mostra que é homogêneo de grau um em está correta, mas a razão pela qual isso implica que, é homogênea de grau um em , não é muito precisa em seu argumento . Por exemplo, a dualidade nos diz onde é apenas um nível de utilidade alvo, mas não deve ser como em sua prova. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Aqui está uma maneira possível de proceder: Como é homogêneo de grau um em , pode ser escrito como Aplicando a igualdade fornece que implica claramente que é homogêneo do grau um em . Você pode usar um argumento semelhante para provar a homogeneidade da demanda hicksiana. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, você) = \frac{você}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Com tudo isso dito, sugiro que você prove a declaração original diretamente, usando as definições da função de despesa e da demanda hicksiana. Por exemplo,

\begin{aligned} e (p, λ você) & = min p \cdot x st você (x) \geq λ você \\ = λ min p \cdot \frac{1 1}{λ} x st \frac{1 1}{λ} você (x) \geq você \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
fonte

Ok obrigado. Eu faço isso para a demanda hicksian também. Por favor, verifique minha solução também para ver se há demanda hicksian. novamente vamos normalizar m = 1. E . Como então eu tenho portanto, como e (p, u) é homogêneo de grau um em u, a demanda hicksiana também é homogênea de grau um em u. Isto está certo? Por favor, verifique novamente querido @ZiweiWang, muito obrigado. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Observe que você inseriu , então (ou seja, não deve aparecer em sua expressão para ).

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang