Aplicações das funções Trig em Economia?

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Existem aplicações de funções trigonométricas (isto é, $\sin(x)$ , $\cos(x)$ , $\tan(x)$ ) na economia?

mathematical-economics

— EconJohn
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Por quê você se importa?

— Michael Greinecker

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@MichaelGreinecker interesse geral.

— EconJohn

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Stats.stackexchange.com/questions/312883/… stat-

— EconJohn

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A principal propriedade das funções trigonométricas é sua ciclicidade. Então, alguém poderia pensar que eles poderiam ser ideais na análise de séries temporais, para modelar "flutuações em torno de uma tendência". Acredito que os motivos pelos quais eles não são realmente usados nesse cenário são

1) São funções determinísticas , portanto, não permitem que as flutuações sejam estocásticas

2) Se o pesquisador quiser criar um modelo que produza flutuações para cima e para baixo (oscilações) em torno de uma tendência, ele deseja obter essa propriedade a partir das premissas comportamentais e outras do modelo. Se ele usasse uma função trigonométrica, imporia a priori ao modelo o resultado teórico buscado.

Em vez disso, opta-se pelas equações diferenciais diferenciais. Aí obtemos oscilações (amortecidas ou não) se algumas raízes características são complexas - e então as funções trigonométricas aparecem, mas como uma representação alternativa, não como blocos de construção.

— Alecos Papadopoulos
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Não tenho certeza se concordo com você. Há uma área chamada análise espectral em Séries Temporais, que é principalmente o uso de funções trigonométricas, transformada de Fourier, etc. Você aprende que pode decompor uma série temporal estacionária em uma soma de componentes sinusoidais com coeficientes aleatórios não correlacionados.

— Um velho no mar.

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@Anoldmaninthesea. Certamente e bom que você apontou isso (eu sugiro que você responda). Mas a análise espectral é usada principalmente para fins de previsão ateórica, não para modelagem econômica estrutural.

— Alecos Papadopoulos

Infelizmente, eu precisaria estudá-lo em detalhes para fornecer uma boa resposta. Talvez durante o fim de semana. : D

— Um velho no mar.

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Só para dizer que li sobre o assunto e envolve integração estocástica (a decomposição em uma série de componentes sinusoidais), algo sobre o qual não tenho idéia ... O restante da leitura estava simplesmente afirmando que a análise espectral é equivalente à análise usual no domínio do tempo, mas sem entrar em muitos detalhes. Estou adicionando este comentário para que você saiba que não esqueci e tentei, mas simplesmente não sei o suficiente. ;)

— Um velho no mar.

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@Anoldmaninthesea. Tente o capítulo 2 de Granger e Newbold "Forecasting Economic Time Series" (2ª ed). Is é um livro antigo, mas cheio de sabedoria, realismo e poder de exposição (e não apenas para análise espectral).

— Alecos Papadopoulos

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Uma aplicação natural de funções trigonométricas está na análise de dados espaciais. Um exemplo é o problema de Weber na teoria da localização - encontrar o ponto que minimiza a soma dos custos de transporte para destinos. Há mais de uma maneira de resolver o problema, mas a solução da Tellier usa trigonometria. $n$

— Adam Bailey
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Conheço a série Fourier sendo usada em Finanças e Econometria.

Métodos de transformação de Fourier em finanças

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Pr ({\tilde{r}}_{t}) = {[\frac{π}{2} + \tan^{- 1} (\frac{μ}{γ})]}^{- 1} \frac{γ}{γ^{2} + ({\tilde{r}}_{t} - μ)^{2}} .

$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$

Para isso, consulte: Harris, DE (2017) The Distribution of Returns. Jornal de Finanças Matemáticas, 7, 769-804.

Para retornos calculados como a diferença de logs, os retornos são:

Pr (l o g (r_{t})) = \frac{1}{2 σ} sech (\frac{π ({\tilde{r}}_{t} - μ)}{2 σ})

$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$

— Dave Harris
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Para um exemplo concreto de como as funções trigonométricas (e trigonométricas inversas) podem ter aplicações financeiras ou econômicas, aqui está um de "Analysis of Financial Time Series", de Ruey S. Tsay. Considere o modelo AR (2):

r_{t} = ϕ_{0} + ϕ_{1} r_{t - 1} + ϕ_{2} r_{t - 2} + a_{t}

$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$

Sua função de autocorrelação (ACF) satisfaz a equação da diferença , onde é o operador de back-shift, ou seja, e . (Algumas pessoas preferem escrever para o operador lag.) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ $B$ $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ $L$

A equação característica de segunda ordem tem raízes características e fornecidas por: $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

ω = \frac{ϕ_{1} \pm \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}}}{- 2 ϕ_{2}}

$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$

Se as raízes características são reais, o comportamento é uma mistura de duas decaimentos exponenciais. Mas se, em vez disso, o discriminante , as raízes características e formam um par complexo-conjugado, e o gráfico do ACF exibirá ondas sinusoidais amortecidas. Para citar Tsay: $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ $\omega_1$ $\omega_2$

Em aplicações comerciais e econômicas, raízes características complexas são importantes. Eles dão origem ao comportamento dos ciclos de negócios. É comum, então, que os modelos econômicos de séries temporais tenham raízes características complexas. Para um modelo AR (2) ... com um par de raízes de características complexas, a duração média dos ciclos estocásticos é

$k = \frac{2 π}{{porque}^{- 1} [ϕ_{1} / (2 \sqrt{- ϕ_{2}})]}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]}$
onde o cosseno inverso é indicado em radianos. Se alguém escreve as soluções complexas como , onde , temos , , e $a \pm bi$ $i=\sqrt{-1}$ $\phi_1 = 2a$ $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$

$k = \frac{2 π}{{porque}^{- 1} (uma / \sqrt{{uma}^{2} + b^{2}})}$ $k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})}$

Note que esta segunda maneira de escrever tem uma maneira muito mais intuitivamente geométrica de pensar sobre o cosseno inverso. $k$

— Silverfish
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Eu citei Tsay verbatim re "raízes características complexas são importantes. Elas dão origem ao comportamento dos ciclos de negócios" porque acho que essa afirmação deve ser tratada com ceticismo - veja a resposta de Alecos, mas também os comentários de Stephan Kolassa aqui . Gostaria de saber se o livro está sendo simplificado demais para o seu público (embora seja um texto de pós-graduação, a ênfase é para os profissionais). Se os comprimentos dos ciclos não são estocásticos, no entanto, a fórmula para é verdadeira.

k

$k$

— Silverfish