Estou lendo uma teoria dos jogos relacionada papel *, e não estou seguindo a derivação de alguma propriedade das funções de melhor resposta.
Suponha que eu tenha dois jogadores $ 1 $ e $ 2 $, cujas estratégias são níveis contínuos de esforço $ x_1 $ e $ x_2 $ respectivamente. A condição de primeira ordem é dada por uma estratégia de equilíbrio de Nash que é dada apenas de forma padronizada por $ argmax_ {x_1} (\ pi_1) $:
$$ \ frac {\ partial \ pi_i} {\ partial x_1} = \ frac {\ alpha \ sigma h '(x_1) h (x_2)} {(\ sigma h (x_1) + h (x_2)) ^ 2} -1 = 0 $$
Deixe $ x_1 = r_1 (x_2) $ denotar a função de reação do jogador $ 1 $. Como é derivado da condição de primeira ordem do jogador $ 1 $ (acima), obtemos é derivado diferenciando ao longo do [acima FOC]:
$$ \ frac {dr_1 (x_2)} {dx_2} = \ frac {h '(x_1) h' (x_2) (\ sigma h (x_1) -h (x_2))} {h (x_1) [h ' (x_2) (\ sigma & gt; h (x_1) + h (x_2) -2h '(x_2)) ^ 2]} $$
Note que esta não é a derivada da primeira equação w.r.t. $ x_2 $, que simplesmente é
$$ \ frac {\ alpha \ sigma h '(x_1) h' (x_2) (\ sigma h (x_1) -h (x_2))} {(\ sigma h (x_1) + h (x_2)) ^ 3} = 0 $$
No entanto, além dessa abordagem, não vejo como a equação poderia ser obtida. Reorganizando para $ x_1 $ para expressar a função BR de $ 1 $ do jogador, a forma convencional também não parece ser uma opção, já que a função $ h $ é indefinida, e a função BR também se tornaria muito mais confusa do que a citada.
* Alguns dos exercícios estão em um apêndice técnico em outro lugar, que eu posso enviar por e-mail.