Há um argumento do livro holandês para mostrar que as preferências não-transitórias são em certo sentido "não razoáveis", o que justifica por que colocamos o axioma da transitividade na definição de "preferências racionais", quando se trata de utilidade sem incerteza.
Quando se trata de funções de utilidade sobre loterias, Von Neumann e Morgenstern colocam adicionalmente o axioma da Independência sobre loterias.
Há argumentos do livro holandês para justificar o axioma da independência?
Respostas:
Eu acho que não. Primeiro, pode-se facilmente imaginar casos em que o livro holandês seria válido, mas que o axioma da independência não poderia. Considere a eleição presidencial de 1992. Ela satisfaria as condições necessárias para o raciocínio bayesiano e, portanto, apoiaria o argumento do Livro Holandês à revelia, mas fracassaria claramente na independência do critério de alternativas irrelevantes.
Se alguém escolheu apostar na eleição, então é difícil imaginar por que os agenciadores de apostas não poderiam colocar chances coerentes. Por outro lado, se a memória me serve corretamente, a maioria das pesquisas preferiu Bush a Clinton, mas a pluralidade foi para Clinton.
Parte dessa discussão, no entanto, tem a ver com a forma particular do axioma particular de von Neumann. Ele está adicionando zero, essencialmente, a uma preferência binária. Existem loterias, como aquelas construídas em torno de votações ou outros eventos de escolha binária, onde a forma do axioma de von Neumann é simplesmente irrelevante para o problema.
Se você tomar a forma de von Neumann, isso implica que uma terceira loteria não tem impacto sobre uma escolha binária de outra loteria, implicando que existem fundos suficientes para comprar essa loteria também. Em uma eleição, você obtém apenas um resultado, você não pode "pagar" dois presidentes. Isso só é válido se você puder desenvolver um "portfólio" de loterias em qualquer combinação convexa.
Se você impôs restrições adicionais ao tipo de loteria, então você pode chegar lá a partir dos axiomas de livros holandeses, mas isso tem mais a ver com o fato de que você sempre pode adicionar zero a ambos os lados de uma equação em matemática comum. Você deve ser capaz de retroceder da função de utilidade para as preferências e chegar ao axioma de von Neumann.
Naturalmente, os axiomas de von Neumann não assumem o argumento do livro holandês e, portanto, você está perigosamente misturando e combinando. A partir do argumento do livro holandês, você pode chegar aos axiomas de Kolmogorov. Isso não significa que você deveria, a não ser como um exercício mental. De fato, Savage substitui Kolmogorov em sua justificativa de probabilidade personalista.
Ele faz a pergunta um tanto interessante sobre se o axioma da independência é realmente um axioma e sob quais circunstâncias é um axioma.