Consumidor ideal em uma economia com um continuum de commodities

Considere uma economia com um continuum de mercadorias, com uma mercadoria para cada ponto em .$[0,1]$

Suponha que um consumidor quer maximizar sujeito a ∫ 1 0 p i c

$$U = \int_0^1 c_i^\theta\,di\qquad 0<\theta<1$$ , onde c i é a quantidade do i mercadoria -ésimo consumido, p i seu preço e M de renda o dinheiro do consumidor. $$\int_0^1 p_i c_i\,di = M$$ $c_i$$i$$p_i$$M$

Esse tipo de problema surge, por exemplo, na aplicação do modelo Dixit-Stiglitz à macroeconomia ou ao comércio internacional.

A solução para esse problema é supostamente ondeAé uma constante escolhida para garantir que a restrição orçamentária seja atendida.

$$c_i = Ap_i^{1 \over {\theta-1}}$$ $A$

Não estou muito satisfeito com derivações desse resultado que usam multiplicadores de Lagrange em analogia com o caso de um número finito de mercadorias. Qual seria um método completamente matematicamente rigoroso para obter o resultado acima?

Parece claro que não há uma solução única desde a mudança arbitrariamente os valores de para um número finito de valores de i vai deixar as integrais na função de utilidade e restrição orçamental inalterada. Estou esperando que uma derivação completamente rigorosa também identifique corretamente esse grau de não singularidade.$c_i$$i$

EDIT: Em resposta aos comentários de @BKay, @Ubiquitous. Meu problema em começar com economias com mercadorias e tomar o limite como n → ∞ é que isso precisa ser acompanhado por um argumento que mostre que o limite de ótimos é um ótimo para o problema do limite. Gostaria de receber uma referência a um resultado que mostre isso para esse problema específico ou para um resultado geral aplicável a esse problema.$n$$n \to \infty$

Em resposta a @AlecosPapadopoulos. As provas do método multiplicador de Langrange, ensinadas em matemática para cursos de economia, geralmente são para um número finito de variáveis ​​de escolha. Eu apreciaria uma referência para onde o método é justificado para um continuum de variáveis ​​de escolha. Além disso, a não singularidade que mencionei acima mostra que o método não pode estar exatamente correto. Então, quais são exatamente as qualificações necessárias para sua validade?

A coisa completamente rigorosa seria escrever a equação de Euler Lagrange desse problema de cálculo de variações; isso fornecerá uma solução forte que é o que você tem ou uma solução fraca que é escrita com relação a uma distribuição.

Como o OP observou em um comentário, o Teorema 1 na seção 12 de Kolomogorov e o Cálculo de Variações de Fomin parece fornecer algum conforto de que podemos realmente usar o método Multiplicador de Langrange quando o número de nossas variáveis ​​é infinito. Ainda assim, os autores fazem isso em uma nota de rodapé, escrevendo "o leitor reconhecerá facilmente a analogia com os multiplicadores de Langrange". Portanto, não, isso não mostra rigorosamente o que queremos.

Penso que precisamos de um artigo como Craven, BD (1970). Uma generalização de multiplicadores de Lagrange. Boletim da Australian Mathematics Society, 3 (03), 353-362. que em seu resumo escreve:

O método dos multiplicadores de Lagrange para resolver um problema de valor estacionário restrito é generalizado para permitir que as funções tomem valores em espaços arbitrários de Banach (sobre o campo real). O conjunto de multiplicadores de Lagrange em um problema de dimensão finita é mostrado para ser substituído por um mapeamento linear contínuo entre os espaços de Banach relevantes.

É uma linguagem matemática, mas diz o que queríamos ouvir (também é possível encontrar uma breve exposição na wikipedia na medida em que confia no conteúdo).

Então, podemos formar o Lagrangeano do problema

$$\Lambda = \int_0^1 c_i^\theta\,\text{d}i +\lambda\left(M - \int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i\right)$$

e calcule a (s) condição (s) de primeira ordem, informalmente, "olhando a integral e vendo uma soma",

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial c_i} = 0 \Rightarrow \theta c_i^{\theta-1} = \lambda p_i, \;\; i \in [0,1] \tag{1}$$

... um continuum de condições. Para uso posterior, definimos

$$\sigma \equiv 1/(1-\theta), \Rightarrow 1-\theta = 1/\sigma, \;\; \theta = \frac {\sigma-1}{\sigma}$$

$\sigma$

$(1)$$j$

$$c_i = \left(\frac {p_i}{p_j}\right)^{-\sigma}c_j \tag{2}$$

$p_i$$i$

$$\int_0^1 p_i c_i\,\text{d}i = \int_0^1 p_i^{1-\sigma}p_j^{-\sigma}c_j\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow M = p_j^{\sigma}c_j\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i$$

$$\Rightarrow c_j = p_j^{-\sigma} \cdot M \cdot \left(\int_0^1 p_i^{1-\sigma}\,\text{d}i\right)^{-1} \tag{3}$$

$j$

Esta é apenas uma elaboração da resposta dada por @ user157623. Estou postando como um wiki da comunidade por conveniência.

O Teorema 1 da Seção 12 de Kolmogorov e o Cálculo de Variações de Fomin diz

$$J[y] = \int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$ $$y(a)=A,\quad y(b)=b, \quad K[y] = \int_a^bG(x,y,y')\,dx=l,$$ $K[y]$$J[y]$$y=y(x)$$y=y(x)$$K[y]$$\lambda$$y=y(x)$ $$\int_a^b (F+\lambda G)\,dx,$$ $y=y(x)$ $$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}+\lambda\left(G_y-\frac{d}{dx}G_{y'}\right)=0.$$

$x$$i$$c$$y$$F(i,c,c')=c^\theta$$G(i,c,c')=pc$

$$\theta c_i^{\theta-1} + \lambda p_i=0$$

$K[y]$$y(a)$$y(b)$$c$$c^*(i)$$c(0)=c^*(0), c(1)=c^*(1)$

O único problema é a natureza do próprio teorema. Dá as condições necessárias para um ótimo. Dado que, no nosso caso, a condição necessária fornece um resultado único, tudo o que precisamos para torná-lo suficiente é argumentar que nosso problema tem uma solução.

As provas em Kolmogorov-Fomin assumem que as funções com as quais estamos lidando têm primeiras derivadas contínuas. Portanto, ainda precisamos mostrar que o problema do consumidor tem um ótimo nessa classe de funções, mas, considerando que o problema foi resolvido.