Kuhn-Tucker e otimização (continuar)

Esta é uma pergunta relacionada à questão: Problema de otimização de Kuhn-Tucker e teoria dos jogos A pergunta é: Algumas culturas enfatizam mais a interação social do que outras. Existe um papel para a cultura no modelo?

Minha solução é:

Maximização da função social em relação a $ t_ {12} $ e $ t_ {21} $

max aln (T - $ t_ {12} $ + $ t_ {12} $ $ t_ {21} $) + (1-a) ln (w (T- $ t_ {12} $)) + aln (T - $ t_ {21} $ + $ t_ {12} $ $ t_ {21} $) + (1-a) ln (w (T- $ t_ {21} $))

e os FOCs são:

a ($ t_ {21} $ - 1) / (T - $ t_ {21} $ + $ t_ {12} $ $ t_ {21} $) + a $ t_ {21} $ / (T - $ t_ {12} $ + $ t_ {12} $ $ t_ {21} $) = (1-a) / (T - $ t_ {21} $)

e

a ($ t_ {12} $) / (T - $ t_ {21} $ + $ t_ {12} $ $ t_ {21} $) + a (-1 + $ t_ {12}) $ / (T - $ t_ {12} $ + $ t_ {12} $ $ t_ {21} $) = (1-a) / (T - $ t_ {12} $)

Mas não consigo encontrar as soluções ótimas. Por favor, compartilhe suas idéias comigo.

Eu tentei isto para a = 0.5, T = 10, w = 2 e obtive as seguintes soluções reais para t12 e t21:
(1) $ t_ {12} = t_ {21} = 2,8165 $
(2) $ t_ {12} = t_ {21} = 1,1835 $

Para (1) a função é avaliada em 3.78821 e para (2) a função é avaliada em 3.68444.

Então parece que (1) é a solução para o máximo.

Se isso ajudar, aqui está a função e o contorno definidos nesses valores de parâmetro.

Função

Contour Set ($ t_ {12} $ no eixo X):

A propósito, os seus FOCs estão corretos? Para o FOC com t12, tenho: $ - \ frac {(1 - a)} {(T - t_ {12})} + \ frac {a (-1 + t_ {21})} {(T - t_ {12} + t_ {12} t_ {21})} + \ frac {a t_ {21}} {(   T - t_ {21} + t_ {12} t_ {21})} = 0 $