Calculei o valor esperado e a variância corretamente?

Eu tenho a seguinte atribuição para resolver, mas não tenho certeza se resolvi corretamente.

Questões

Deixe o processo estocástico $ (Y_t) _t $ ser definido por $ Y_t = \ mu + Y_ {t-1} + \ varepsilon _t $ com $ (\ varepsilon _t) _t \ sim \ mathrm {WN} (0,1) $.

a) Calcule o valor esperado e a variância de $ (\ Delta Y_t) _t $.

b) Prove que $ (\ Delta Y_t) _t \ sim \ mathrm {MA} (1) $ e calcule a função de autocovariação de $ (\ Delta Y_t) _t $.

Minhas soluções

a) \ begin {eqnarray} Y_ {t + 1} & amp; = & amp; \ mu + Y_t + \ varepsilon_ {t + 1} \\ [1ex] \ implica \ Delta Y_t = Y_ {t + 1} -Y_t & amp; = & amp; \ mu + \ varepsilon_ {t + 1} \\ [1ex] \ mathrm E (\ Delta Y_t) & amp; = & amp; \ mu + \ mathrm E (\ varepsilon_ {t +1}) = \ mu \ hspace {6cm} \\ [1ex] \ mathrm {Var} (\ Delta Y_t) & amp; = & amp; \ mathrm {Var} (\ varepsilon _ {t + 1}) = 1 \ end {eqnarray}

b) \ begin {eqnarray} (\ Delta Y_t) _t & amp; = & amp; \ mu + \ varepsilon_ {t + 1} + 0 \ cdot \ varepsilon_t \\ [1ex] \ implies \ mathrm {ACV} & amp; = & amp; \ mathrm {Cov} (\ Delta Y_t, \ Delta Y_ {t-h}) \\ & amp; = & amp; \ mathrm {Cov} (\ varepsilon_ {t +1}, \ varepsilon_ {t-h + 1}) = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & amp; h = 0 \ 0 & amp; \ text {caso contrário} \ end {array} \ right. \ end {eqnarray}

O que você acha?

mathematical-economics statistics

— rdvl0
fonte

Por favor, leia nosso Perguntas frequentes ! "Não basta postar uma varredura ou imagem de toda a questão, nem da sua tentativa de resposta."

— denesp

Eu sinto Muito! Eu tentei fazer isso, mas não mostraria minhas fórmulas matemáticas corretamente.

— rdvl0

Oi: seu acf está incorreto. escreva o processo estocástico para $ Y_ {t-1} $ e então subtraia do processo por $ Y_t $ e você verá que acabará com dois termos épsilon, o que torna o acf no desfasamento um diferente de zero, o que implica que o processo é MA (1). .

— mark leeds

@ rdvl0 tente isto para formatar sua pergunta math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…

— EconJohn

O aprendizado do @denesp TeX não é simples. Visto que eu acho que essa questão se encaixa nos 'requisitos' de mostrar esforço, acho que a melhor coisa a fazer é editar o TeX por nós mesmos. stackoverflow.blog/2018/04/26/…

— ahorn

Quem formulou o exercício está errado, e é por isso que estou postando uma resposta completa para uma pergunta de lição de casa. Este é um exemplo clássico em que a manipulação de relações recursivas pode levar a diferentes representações que podem parecer "diferentes" e com propriedades diferentes.

$$ \ Delta Y_t \ equiv Y_ {t} -Y_ {t-1} = \ mu + Y_ {t-1} + \ varepsilon_ {t} - \ mu - Y_ {t-2} - \ varepsilon_ {t- 1} $$

$$ \ implica \ Delta Y_t = \ Delta Y_ {t-1} - \ Delta \ varepsilon_ {t} \ tag {1} $$

Ao mesmo tempo

$$ Y_t = \ mu + Y_ {t-1} + \ varepsilon _t \ implica \ Delta Y_t = \ mu + \ varepsilon _t \ tag {2} $$

O lado direito das Eqs. $ (1) $ e $ (2) $ representam o mesmo processo.

Em qualquer caso, nem destes são $ MA (1) $.

Avançando, qual escolher?

Uma suave adoção da navalha de Occam indica que eq. $ (2) $ é o mais simples. Um pouco mais especificamente, notamos que a manipulação resultante em $ (1) $ não "salvou" a existência de uma raiz unitária e não-estacionariedade de forma clara.

Ambos, portanto, sugerem adotar $ (2) $, que diz que $ \ {\ Delta Y_t \} _ t $ é a soma de constantes e um processo de $ WN $.

— Alecos Papadopoulos
fonte

@markleeds A página 5-6 do link que você menciona discute um modelo com uma tendência determinista.

— Alecos Papadopoulos

@alex papadopoulos: Desculpe, Alex. É a página 3. Minha opinião é que, se a diferença é a expectativa no tempo (t + s) e no tempo (t + s-1), então a primeira diferença dessas expectativas será e_ (t + s) - e_ ( t + s-1) que é um MA (1) com $ \ theta = -1 $. Essa é a única coisa que posso pensar, até porque a pergunta pede para mostrar. Mas eu concordo que é muito estranho olhar dessa maneira.

— mark leeds

Alecos. Eu olhei com mais cuidado e faz um pouco mais de sentido do que eu pensava, porque você não precisa diferenciar as expectativas. Basicamente, pegue a equação entre "e" e "de modo que" na página 3. Em seguida, defina-o por um período e subtraia-o de si mesmo. O resultado obtido é $ y_s - y_ {s-1} = \ epsilon_s - \ epsilon_ {s-1} $. Ainda assim, é um MA esquisito (1), porque os dois termos de ruído do lado direito podem ser adicionados e considerados como ruído puro, já que o parâmetro MA é -1. Interessante de qualquer maneira.

— mark leeds

@ Markleeds Mark, eu não recebo seus cálculos. Eu acho $$ y_ {t + s-1} = y_0 + b (t + s-1) + \ sum_1 ^ tu + \ sum_ {t + 1} ^ {t + s-1} u $$ e então $ $ y_ {t + s} - y_ {t + s-1} = b + u_ {t + s} $$ Uma vez que assumimos um valor inicial, apenas os termos de fronteira são defasados

— Alecos Papadopoulos

Você está absolutamente correto. Eu cometi um erro fazendo isso na minha cabeça. Eu aprendi com meus erros e comecei a fazê-lo no papel para ter certeza de que nenhum erro estúpido e a segunda diferença é MA (1), então $ y_ {t + s} - y_ {t + s-1} = y_ {t + s-1} - y_ {t + s-2} + u_ {t + s} - u_ {t + s-1} $ então pode ser visto como um ARIMA (0,2,1). Mas não é isso que a pergunta fez, então você está absolutamente certo de que a pergunta está errada. Obrigado pela correção.

— mark leeds