Conceitos topológicos em teoria econômica

PERGUNTA: Quais são as aplicações principais ou sistemáticas da matemática pós-década de 1960 na microeconomia?

Por exemplo, no final do século 19, Fisher usou pela primeira vez as idéias matemáticas de Gibbs para construir a teoria da utilidade moderna. No século 20, Mas-Colell incorporou idéias topológicas para estudar o equilíbrio geral. E o final do século 20, início do século 21?

Por exemplo, considere a teoria dos grafos direcionados, a teoria das medidas, a topologia, a teoria das categorias e a homologia ou cohomologia moderna, os métodos topos, a integração funcional etc.

Nota 1 : econometria / estatística, sem modelagem, está excluída. A única matemática moderna usada lá é a teoria da caminhada aleatória e o problema ergódico, resolvido através de análises complexas. RW e EP não são específicos para economia.

Qualquer publicação econômica apropriada é uma resposta. Isso incluiu também aqueles publicados em revistas não estritamente econômicas, por exemplo, o Journal of Mathematics Psychology .

Nota 2 : Sim, eu sei, esse tipo de trabalho é mais raro (não deve ser confundido com obscuridade: algumas são bem conhecidas). É isso que torna mais fácil a falta dessa referência quando ela é publicada. Daí a questão.

Eu suspeito fortemente que uma área importante emergente para aplicações da teoria de medidas esteja nas técnicas aproximadas de programação dinâmica. A programação dinâmica aproximada (também conhecida como "aprendizado por reforço" na literatura de ciência da computação) tem sido a direção do trabalho de pesquisa nos últimos 10 a 20 anos da literatura de programação dinâmica. Só agora a economia está começando a adotar alguns desses avanços. Por exemplo, a direção da literatura de DP, veja a mais recente expansão da 4ª edição de Bertsekas de sua série de programação dinâmica, ou o DP aproximado de Powell : resolvendo a maldição da dimensionalidade. Os economistas estão começando a pegar algumas dessas ferramentas, direta e indiretamente, e suspeito que eles terão um impacto crescente na literatura nos próximos anos. Alguns dos antecedentes analíticos para convergência desses métodos são topologia e sistemas dinâmicos.

Um bom exemplo de contribuição teórica dos economistas para este tipo de literatura é Pál e Stachurski (2013), Iteração de Função de Valor Ajustado com Contrações de Probabilidade Um (versão sem porta aqui ). Leia esse artigo e você pode ver a importância de uma boa compreensão da teoria da medida. O livro Economic Dynamics de Stachurski é, na verdade, uma exposição muito boa de programação dinâmica a partir dessa perspectiva, construindo em um ritmo que funciona para vários níveis de estudante / profissional de graduação (a teoria da medida entra formalmente no final, acredito - eu ainda estou trabalhando para essas idéias).

Espero que isso responda à sua pergunta até certo ponto. Receio que a frase "matemática pós-década de 1960" seja um tanto ambígua para mim (devido à minha própria falta de conhecimento da história da literatura matemática), por isso, se perdi completamente o alvo, minhas desculpas!

Isso foi muito longo para comentar. "Pós 1960" parece uma barra arbitrária e muito alta para um campo aplicado, incluindo a micro teoria. A maioria dos tópicos que você nomeia não seria considerada matemática contemporânea. Por exemplo, a teoria da medida começou com a tese de Lebesgue e tem mais de um século. A topologia é ainda mais antiga e começou com Poincare, que introduziu grupos de homologia. Ambos são ensinados aos estudantes de graduação hoje, como cálculo. (A matemática usada por Mas-Colell et al. Na GE é análise, e não topologia.)

A externalidade dos programas de pesquisa que conduzem a matemática moderna desde meados do século XX à comunidade aplicada é indireta, na melhor das hipóteses. O ponto de vista e as técnicas motivadas por, por exemplo, geometria não comutativa, programa de Langland, conjectura de Poincare, conjectura de Baum-Connes, conjectura primária dupla (medalhas Fields foram concedidas após 1960 por progresso nesses problemas), etc. --- provavelmente nunca será visto fora da matemática. As finanças matemáticas, é claro, continuam sendo matemáticas, mas isso é bastante afastado do ponto de vista econômico.

Edit Acontece que, abordando sua pergunta diretamente, houve aplicações da topologia à teoria da escolha social, iniciada por Chichilnisky, et. al. Aqui está um artigo do JET sobre o tópico por um topologista:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Talvez alguém com experiência em topologia possa comentar mais.

Os espaços Loeb foram usados ​​para modelar situações com um continuum de agentes. Veja http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf e os capítulos da Sun sobre aplicações econômicas no livro Análise não padronizada para o matemático que trabalha .

A teoria da medida é amplamente usada no problema de divisão justa (também conhecida como "corte de bolo"). Veja os vários artigos sobre justiça em revistas de economia .

Para um exemplo específico, consulte Tatsuro Ichiishi e Adam Idzik, "Alocação equitativa de bens divisíveis", JME 1999 .

Ao lado do trabalho de Chichilnisky mencionado por Michael, outro uso interessante da topologia na teoria da escolha social aparece no trabalho de Redekop no teorema de Arrow sobre domínios econômicos.

• Redekop, J. (1991). O bem-estar social funciona em domínios econômicos restritos. Journal of Economic Theory, 53, 396-427.
• Redekop, J. (1993a). Domínios econômicos inconsistentes com flechas. Escolha Social e Bem-Estar, 10, 107–126.
• Redekop, J. (1993b). A topologia do questionário em alguns espaços de preferências econômicas. Jornal de Economia Matemática, 22, 479-494.
• Redekop, J. (1993c). O bem-estar social funciona em domínios paramétricos. Escolha Social e Bem-Estar, 10, 127-148.
• Redekop, J. (1995). Teoremas da seta em ambientes econômicos. Em WA Barnett, H. Moulin, M. Salles e NJ Schofield (Eds.), Escolha social, bem-estar e ética (pp. 163-185). Cambridge: Cambridge University Press.
• Redekop, J. (1996). Teoremas da seta em ambientes econômicos mistos, estocásticos e dinâmicos. Escolha social e bem-estar, 13, 95–112.

O teorema da impossibilidade de Arrow foi originalmente provado para um conjunto abstrato de alternativas, permitindo todo perfil de preferência possível sobre esse conjunto de alternativas. A pergunta que Redekop (e outros) fez foi: existe um equivalente ao teorema de Arrow quando as alternativas são feixes de bens, e o agente tem preferências "clássicas" sobre esses bens (monotônicos, convexos, contínuos, egoístas, ...).

Mais precisamente, a questão era se haveria uma função de bem-estar social que satisfizesse os três axiomas arrovianos (Independência de alternativa irrelevante, Pareto fraco e não-ditadura) nesses domínios econômicos (ver Le Breton, Michel e John A. Weymark. " Capítulo Dezessete-Arroviana, Teoria da Escolha Social em Domínios Econômicos. "Manual de escolha social e bem-estar 2 (2011): 191-299 para uma ótima revisão, na qual esta resposta se baseia).

Grosso modo, o trabalho de Redekop mostra que, para alguns desses problemas econômicos, se um domínio de preferências admite uma função de bem-estar social arroviana, o domínio deve ser "pequeno" em algum sentido topológico. Por exemplo, em Redekop (1991), ele introduz uma topologia engenhosa em conjuntos de preferências que ele apelidou de topologia de questionário e mostra que, em uma economia de bens públicos, se um domínio de preferências admite uma função de bem-estar social arroviana, então o domínio deve não seja denso em nenhum lugar de acordo com esta topologia (ou seja, o fechamento do domínio não contém um conjunto aberto).