Existe uma maneira de vincular o teorema de Berge do máximo ao teorema de Envelope?

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Estados do teorema de Berge

$X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$ é hemicontínuo superior.

De acordo com a Análise Microeconômica de Varian (1992), página 490, o teorema do envelope é simplesmente:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ é o maximizador de . $f(\cdot, a)$

Parece-me que o teorema do envelope envolve o teorema de Berge, mas a derivação parece muito mais simples. Existe uma relação entre os dois?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Epicurus
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Não parece que os dois estão preocupados com o mesmo alvo. Berge's estabelece propriedades da função value e do conjunto de maximizadores. O envelope está preocupado em mostrar qual é o efeito da variação de um parâmetro ... talvez você possa elaborar o tipo de conexão entre os dois que o intriga.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Desculpe-se pela imprecisão da minha pergunta. Agora eu descobri que essa missão surgiu da minha vaga memória da proposição 2 em Lucas (1978). Agora eu posso formular com mais precisão. Que tipo de condições na função de utilidade e restrição nos permite aplicar o teorema do envelope somente depois que estabelecemos a continuidade da função de valor pelo teorema de Berge? pessoas.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicurus

Eu não acho que você precise necessariamente "estabelecer a continuidade da função de valor" para usar o teorema do envelope. Ele acha que a parte principal é o ponto sobre o controle . Veja o Teorema 2 na página da Wikipedia. Lá, a continuidade de V é um resultado. De qualquer forma, a página da Wikipedia declara os teoremas na íntegra. Ele lhe dirá o que você precisa assumir para usar o teorema. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

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Eles estão relacionados e geralmente caem na mesma discussão, mas como o @Alecos menciona nos comentários, os dois teoremas mostram coisas diferentes.

Suponho que a conexão que você procura é o fato de que, se a derivada existe, então, como a diferenciabilidade implica continuidade, você poderá obter parte do teorema do máximo dele. No entanto, para comparar e contrastar dois teoremas, você não deve apenas olhar para os resultados. Você precisa examinar as suposições também. Por exemplo, o teorema do máximo não assume nenhum tipo de diferenciabilidade. O teorema do envelope sim (pelo menos algumas formas). De qualquer forma, as suposições que entram em cada uma são diferentes (algumas mais fortes, outras mais fracas).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Além disso, existe isso. O teorema do envelope não diz nada sobre a função de controle. Portanto, você definitivamente não será capaz de obter o resultado de que é hemicontinuo superior. $C^*$

— jmbejara
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Citando o OP de um comentário

Que tipo de condições na função de utilidade e restrição nos permite aplicar o teorema do envelope somente depois que estabelecemos a continuidade da função de valor pelo teorema de Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

No artigo de Lucas (1978) referenciado, a Proposição 1 estabelece que

insira a descrição da imagem aqui

onde é a função de valor e é sua definição. Portanto, parece que é a continuidade da função Price que é destacada como uma condição aqui, mas anteriormente no artigo Lucas define a função Utility como uma função não negativa que é $v(z,y;p)$ $(i)$

continuamente diferenciável, limitado, crescente e estritamente côncavo

A proposição 2 do artigo estabelece a diferenciabilidade da função de valor, sem a necessidade de suposições adicionais.

— Alecos Papadopoulos
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