Quando alguém pode falar com segurança sobre a diminuição da utilidade marginal?

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Uma coisa que ouço muito é falar em diminuir a utilidade marginal - a idéia é que unidades adicionais de um bem se tornam progressivamente menos atraentes quanto mais unidades desse bem já tiver.

No entanto, isso sempre me deixou um pouco desconfortável por causa da ordinalidade da utilidade. Se considerarmos o caso trivial de um mundo em que existe apenas um bem com a utilidade satisfazendo (utilidade marginal decrescente), é claramente possível construir uma função crescente tal que é linear em . Além disso, como as funções utilitárias são invariantes a transformações monótonas, é uma função utilitária que representa as mesmas preferências que (mas agora tem utilidade marginal constante). Assim, em um mundo com um único bem, parece que nunca faz sentido falar em diminuir a utilidade marginal. $u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

Minha pergunta é a seguinte: considere um mercado com mercadorias $L>1$ . Existe uma condição formal sob a qual podemos falar com segurança sobre a diminuição da utilidade marginal? Ou seja, existe uma classe de preferências tal que toda representação de utilidade válida, $u(\mathbf{x})$ , tem $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ para alguns $i$ ?

Como alternativa, existe alguma prova simples que, para $L>1$ , a existência de uma representação de utilidade com $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ para algum $i$ implica necessariamente que todas as representações de serviços públicos têm $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

— Onipresente
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Dittmer (2005) discute isso com alguns detalhes. No nível introdutório, ensinamos aos alunos que existe algo chamado "utilidade marginal decrescente" (DMU), que implica que a utilidade é um conceito fundamental. Então, nos níveis intermediário e de pós-graduação, a utilidade torna-se repentinamente um conceito ordinal, onde não pode haver DMU. E assim, ao passar dos níveis introdutório para intermediário, há uma enorme inconsistência. Essa inconsistência geralmente passa despercebida pela maioria dos alunos e, portanto, não é explicada pelo professor.

— Kenny LJ

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O conceito de "utilidade marginal" (e, portanto, de diminuí-la) só tem significado no contexto da utilidade cardinal .

Suponha que temos um índice de utilidade ordinal , em um único bem, e três quantidades desse bem, , com . As preferências são bem comportadas e atendem às condições de regularidade de referência, portanto $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

Este é um utilitário ordinal . Somente a classificação é significativa, não as distâncias. Portanto, as distâncias e não têm interpretação comportamental / econômica . Caso contrário, os rácios também não $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{u (q_{2}) - u (q_{1})}{q_{2} - q_{1}}, \frac{u (q_{3}) - u (q_{2})}{q_{3} - q_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

Mas os limites dessas proporções, à medida que o denominador chega a zero, seriam a definição da derivada da função . Portanto, a derivada é desprovida de interpretação econômica / comportamental, e a comparação de duas instâncias da função derivada não produziria nenhum conteúdo significativo. $u()$

Obviamente, isso não significa que as derivadas de não existam como conceitos matemáticos. Eles podem existir, se satisfizer as condições necessárias para a diferenciabilidade. Assim, pode-se fazer a pergunta puramente matemática "sob qual condição a função que representa a utilidade ordinal tem uma segunda derivada estritamente negativa " (ou Hessiano definido negativo para o caso multivariado), tentando não interpretá-la como "utilidade marginal decrescente" com conteúdo econômico / comportamental , mas apenas como uma propriedade matemática que pode ter algum papel no modelo que ele examina. $u()$ $u()$

Nesse caso, sabemos que:
1) Se as preferências são convexas, o índice de utilidade é uma função quase côncava
2) Se as preferências são estritamente convexas, o índice de utilidade é estritamente quase côncavo

Mas a quase-concavidade é um tipo de propriedade diferente da concavidade: a quase-concavidade é uma propriedade "ordinal" no sentido de que é preservada sob uma crescente transformação da função.

Por outro lado, a concavidade é uma propriedade "fundamental", no sentido de que não será necessariamente preservada sob uma crescente transformação.
Considere o que isso implica: suponha que encontramos uma caracterização de preferências, de modo que elas possam ser representadas por um índice de utilidade que é côncavo como uma função. Em seguida, podemos encontrar e implementar algumas transformações crescentes desse índice de utilidade, que eliminarão a propriedade concavidade.

— Alecos Papadopoulos
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O fato de você perguntar sobre "segurança" implica que você acredita que algum resultado está em risco. Esta resposta pode ser melhorada se você puder especificar um resultado que possa ter em mente. Caso contrário, tome como exemplo o primeiro e o segundo teoremas de bem-estar. Eles não confiam na utilidade marginal decrescente.

Se você está preocupado com os resultados sobre as preferências sobre a incerteza (idéias sobre aversão ao risco etc.), lembre-se de que, embora uma representação da função de utilidade padrão de preferências sem incerteza seja única até uma transformação monotônica positiva, uma representação da função de utilidade de Von Neumann-Morgenstern das preferências sobre a incerteza é única apenas até transformações afins positivas .

EDIT: Notas Extra.

A definição de uma função de utilidade é dada da seguinte forma (da Advanced Microeconomic Theory por Jehle e Reny, 2011): insira a descrição da imagem aqui

— jmbejara
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