Aplicações / generalizações de um teorema de Debreu

Gostaria de saber como o último teorema do artigo de Debreu "Agentes econômicos vizinhos" (La Decision 171 (1969): 85-90; reimpresso em G. Debreu, Mathematics Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), pp. 173 -178) foi usado:

Teorema. Para um espaço topológico e um espaço métrico , seja um mapeamento de valor definido de para com valor compacto (ou seja, é compacto para cada ) e contínuo . Além disso, para cada seja uma pré-encomenda total em \ varphi (e) de modo que o conjunto \ {(e, x, y) \ em M \ vezes H \ vezes H: x \ lesssim_e y \} está fechado. Em seguida, o mapeamento com valor definido \ varphi ^ 0 de M a H em que$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

é de valor compacto e hemi-contínuo superior .

Observe que o teorema é semelhante ao conhecido Teorema Máximo de Berge. Antes da declaração do teorema, Debreu escreve que casos especiais "foram usados ​​repetidamente na teoria do equilíbrio econômico e na teoria dos jogos", mas não dão nenhuma referência; no próprio artigo, é usado para provar a hemi-continuidade superior da correspondência de demanda de um agente em uma economia de câmbio.

Estou especialmente interessado em saber se houve algum uso ou generalização recente desse teorema, por exemplo, para mapeamentos que não têm valor compacto.

Perguntas: Quais são alguns bons exemplos e / ou referências para aplicações do teorema acima? Foi generalizado para mapeamentos que não têm valor compacto?

Este resultado é de fato uma versão do teorema máximo de Berge. Se houver uma função contínua modo que se e somente se , pode-se derivar o resultado diretamente do teorema máximo de Berge. Se é localmente compacto, como é o caso de , essa função sempre pode ser encontrada; isso se segue do Teorema 1 de Na representação contínua de pré -encomendas de Mas- Colell (pelo menos se é metrizable, não tenho certeza sobre esse ponto). Mais informações sobre essas "funções de utilidade em conjunto contínuas" podem ser encontradas no capítulo 8 de Representações de ordens de preferência$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, por Bridges & Mehta.

Como Debreu não tinha esse resultado disponível, ele trabalhou com relações de preferência e essencialmente reprovou o teorema máximo de Berge (a generalização é matematicamente direta). Por que ele fez isso? Para entender isso, é preciso entender o ponto do artigo de Debreu, que é encontrar uma topologia sobre relações de preferência que possua propriedades nioce e mantenha o comportamento econômico contínuo. A necessidade de tal resultado vem da literatura sobre economias com um continuum de agentes.

O que significa que um continuum de economia de agentes é o limite de uma sequência de eonomias finitas? Uma resposta é que a distribuição das características dos agentes converge para a distribuição das características na economia contínua, de modo que a noção de convergência é convergência na distribuição. Para tornar essa ideia operacional, é preciso topologizar as características dos agentes. Agora, um agente é caracterizado por sua dotação e por suas preferências (e em modelos mais gerais por seu conjunto de consumo). Existe uma topologia natural em doações, a topologia euclidiana, mas é menos direto para topologizar preferências, e foi isso que Debreu fez em seu artigo. Uma exposição dessa abordagem distributiva pode ser encontrada em Hildenbrand 1974, Core e equilíbrios de uma grande economia .

Agora, há casos em que alguém gostaria de aplicar o teorema de Berge para conjuntos de escolhas não compactos. Isso pode ser importante ao estudar economias com espaços de mercadorias dimensionais infinitos, nos quais estar fechado e limitado não implica compactação. Uma maneira de lidar com esse problema é encontrar um conjunto compacto para que a correspondência tenha valor compacto e não vazio quando restrito a esse conjunto. Existe uma literatura grande e muito técnica sobre "jogos generalizados" ou "economias abstratas" (basicamente jogos de forma normal, nos quais os espaços estratégicos dependem das ações de outros), e eles implicitamente contêm frequentemente generalizações não compactas do teorema de Berge. Se você conseguir colocar as mãos no livro, consulte o capítulo 4 de Xian-Zhi Yuan 1999, Teoria da KKM e aplicações na análise não linear.. Minha impressão, no entanto, é que esses resultados provaram não ser tão úteis em aplicações econômicas. Para provar a existência de equilíbrios walrasianos em modelos com espaços de mercadorias dimensionais infinitos, geralmente se usa métodos diferentes.