Considerar
$$ f (x) + z = y \\ x = g (y) $$
Eu tenho um efeito de feedback em mente:
Estou interessado em resolver a elasticidade de $ x, y $ w.r.t. $ z $. Eu acho que preciso de algum tipo de exigência de concavidade em $ f \ circ g $. Como eu abordo isso?
Respostas:
Nós temos um equilíbrio dado por $$ h_1 (x, y) = f (x) + z-y = 0, $$ $$ h_2 (x, y) = x-g (y) = 0 $$. O teorema da função implícita diz então que (omitindo os argumentos): $$ \ frac {\ partial x} {\ z parcial} = \ frac {- \ det \ left ( \ begin {matrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial z} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial y} \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial z} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial y} \ end {matrix} \ right)} {\ det \ left ( \ begin {matrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial y} \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial y} \ end {matrix} \ right)}, \ quad \ frac {\ partial y} {\ z parcial =} \ frac {- \ det \ left ( \ begin {matrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial z} \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial z} \ end {matrix} \ right)} {\ det \ left ( \ begin {matrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_1} {\ partial y} \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial x} & amp; \ frac {\ partial h_2} {\ partial y} \ end {matrix} \ right)}.
Minha fonte para isso é Métodos matemáticos e modelos para economistas por Angel de la Fuente, embora eu não tenha o livro para entregar agora e não possa me lembrar da intuição.
Isso implica $$ \ frac {\ partial x} {\ z parcial} = \ frac {g '(y)} {1-f' (x) g '(y)} $$ $$ \ frac {\ partial y} {\ z parcial} = \ frac {1} {1-f '(x) g' (y)}.
Para que o teorema da função implícita se mantenha e esta solução seja válida, precisamos de $ 1-f '(x) g' (y) \ neq0 $.
Mais geralmente, a maneira como isso funciona é a seguinte: você escreve um sistema de equações cujas raízes caracterizam o equilíbrio:
$$ F_1 (\ mathbf {x}; a) = 0, F_2 (\ mathbf {x}; a) = 0, \ ldots, F_n (\ mathbf {x}; a) = 0 $$
(onde $ a $ é o parâmetro de interesse). A partir deles, construímos a função com valor de vetor
$$ \ mathbf {F} (x) = [F_1 (\ mathbf {x}; a), F_2 (\ mathbf {x}; a), \ ldots, F_n (\ mathbf {x}; a)] que tem a matriz jacobiana $$ \ mathbf J = \ frac {d \ mathbf F} {d \ mathbf x} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_1} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_m} \\ \ vdots & amp; \ ddots e amp; \ vdots \\ \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_1} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_m} \ end {bmatrix}. $$
Para calcular a derivada de $ x_i $ em relação a $ a $, construímos o Jacobiano modificado no qual substituímos a coluna $ i ^ {\ text {th}} $ pela derivada WRT $ a $ em vez de $ x_i $. Então, por $ x_1 $ isso pareceria $$ \ mathbf {J} _ {x_1} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial a} & amp; \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_2} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_1} {\ partial x_m} \\ \ vdots & amp; \ vdots & amp; ddots & amp; \ vdots \\ \ dfrac {\ F_n parcial} {\ partial a} & amp; \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_2} & amp; \ cdots & amp; \ dfrac {\ partial F_n} {\ partial x_m} \ end {bmatrix}. $$
A derivada de interesse é então calculada como $$ \ frac {\ partial x_i} {\ partial a} = \ frac {- \ det \ mathbf {J} _ {x_i}} {\ det \ mathbf {J}}. $
Precisamos de $ \ det \ mathbf {J} \ neq0 $ para que o teorema da função implícita seja válido.