Preferência sobre loterias sem axioma de independência

Suponhamos que um conjunto de $N$ resultados podem ser classificados na seguinte ordem: . Além disso, suponha que um tomador de decisão tenha preferência sobre as loterias sobre esses resultados. Suponha que a preferência por loterias seja racional, contínua, mas não necessariamente consistente com o axioma da independência .$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Segue-se que a melhor loteria nesse caso é a loteria degenerada ?$(1,0,\dots,0)$

E se o axioma da independência for violado ?

Não, não necessariamente. Sem o axioma da independência (ou qualquer outra coisa para substituí-lo), não há muito que se possa inferir sobre preferências sobre loterias (não degeneradas) de conhecer preferências apenas sobre os resultados.

Por exemplo, seja a probabilidade de resultados . Em seguida, preferências sobre loterias representadas pela função de utilitário$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

são contínuos e racionais, mas não satisfazem o axioma da independência. Para grande o suficiente, nem mesmo é o caso a melhor loteria, embora e .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Para ver o porquê, observe que

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

No entanto, para ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

A violação do axioma da independência pode ser vista pelo fato de que, quando ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

Apesar

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$