Para que função de demanda um monopólio é mais prejudicial?

Considere uma empresa com custo marginal zero. Se fornecer o produto gratuitamente, toda a demanda será atendida e o bem-estar social aumentará na quantidade máxima possível; chamar este aumento .$W$

Mas como a empresa é um monopólio, reduz a demanda e aumenta o preço para otimizar sua receita. Agora, os bem-estar aumenta sociais por uma quantidade menor, digamos, .$V$

Definir a perda relativa de bem-estar (perda de peso morto) na forma: . Essa proporção depende da forma da função de demanda. Então, minha pergunta é: essa proporção é limitada ou pode ser arbitrariamente grande? Em particular:$W/V$

• Se é limitado, então para qual função de demanda é maximizada?$W/V$
• Se é ilimitado, então para que família de funções de demanda ele pode se tornar arbitrariamente grande?$W/V$

Aqui está o que eu tentei até agora. Seja a função de utilidade marginal dos consumidores (que também é a função de demanda inversa). Suponha que seja finito, suave, decrescente monotonicamente e dimensionado para o domínio . Seja seu anti-derivado. Então:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , a área total sob .$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$ , onde é a quantidade produzida pelo monopólio. Esta é a área sob exceto a parte "perda de peso morto".$x_m$$u$
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = a quantidade que maximiza a receita do produtor (o retângulo marcado).
• $x_m$ geralmente pode ser calculado usando a condição de primeira ordem: .$u(x_m) = -x_m u'(x_m)$

Para ter uma idéia de como o se comporta, tentei algumas famílias de funções.$W/V$

Seja , onde é um parâmetro. Então:$u(x)=(1-x)^{t-1}$$t>1$

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$ .
• A condição de primeira ordem fornece: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

Quando , , portanto, para esta família, é limitado.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

Mas o que acontece com outras famílias? Aqui está outro exemplo:

Seja , em que é um parâmetro. Então:$u(x)=e^{-t x}$$t>0$

• $U(x)=-e^{-t x}/t$ .
• A condição de primeira ordem fornece: .$x_m=1/t$
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

Quando , novamente , então aqui novamente é limitado.$t\to\infty$$W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$$W/V$

E um terceiro exemplo, que tive que resolver numericamente:

Seja , onde é um parâmetro. Então:$u(x)=\ln(a-x)$$a>2$

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$ .
• A condição de primeira ordem fornece: . Usando este gráfico de desmos , descobri que . Obviamente, essa solução só é válida quando ; caso contrário, obtemos e não há perda de peso morto.$x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$$x_m \approx 0.55(a-1)$$0.55(a-1)\leq 1$$x_m=1$
• Usando o mesmo gráfico, descobri que está diminuindo com , então seu valor supremo é quando e é aproximadamente 1,3.$W/V$$a$$a=2$

Existe outra família de funções finitas para as quais pode crescer infinitamente?$W/V$

Uma relação arbitrariamente grande deve ocorrer com a curva de demanda

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$ .

O monopolista tem preço de , mas o excedente dos consumidores se é infinito, porque a área sob a curva de demanda contém .$P=1$$P=0$$\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$