Axioma da continuidade na teoria esperada da utilidade

Tome a seguinte definição de continuidade.

$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

É necessariamente verdade que $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Se sim, por quê?

Isto é.
Antes da continuidade, que é uma propriedade da relação de preferência, a própria relação de preferência foi definida como uma relação binária caracterizada pela transitividade e, para começar, pela completude . Então, se , significa que existem alguns valores de em algum lugar em , chame-os de para os quais $\succsim$
α [ 0 , 1 ] ˜ $S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

nem

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

nem

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

Em palavras, pois estes 's, o par não pode ser encomendado em tudo . Mas isso contradiz a base de completude necessária para obter uma relação de preferência (como é claro usada em nossa teoria. Acho que os psicólogos discordariam).$\tilde \alpha$

Observe também que a integridade é definida sobre todos os pares possíveis, mesmo que, em uma situação específica, tenhamos escolhido restringir o espaço das loterias a algo menor. Se as loterias em consideração pertencem ao espaço especificado, é realmente irrelevante. A pessoa que tem as preferências deve poder solicitá-las em qualquer caso, mesmo como um cenário "hipotético" (embora estritamente falando, para um problema específico, temos o "luxo" de impor a integridade apenas em relação às loterias disponíveis, enquanto " permanecer agnóstico "em relação à completude se expandirmos o espaço da loteria. Ainda assim, esse" enfraquecimento "na imposição do axioma da completude não traz realmente nenhum ganho).