Por que o derivado é usado para representar o custo marginal em vez da diferença?

O custo marginal é definido como "a mudança no custo total que surge quando a quantidade produzida é incrementada em uma unidade". E dada uma função de custo total que é diferenciável, o custo marginal é o derivado, . Mas se me dessem e perguntassem o custo que surge quando a quantidade produzida é aumentada de 2 para 3, eu simplesmente calcularia ; não há necessidade de trazer o cálculo para a imagem. Em geral, $C(q)$ $C'(q)$ $C$ $C(3)-C(2)$ . Por exemplo, se , então , mas . $C(3)-C(2) \neq C'(2)$ $C(q) = q^2$ $C(3)-C(2) = 5$ $C'(2) = 4$

Assim, minha pergunta é: por que o derivado é usado para representar custo marginal em vez da diferença?

Nota: Eu pensei que essa pergunta deveria ter sido o que está sendo feito aqui , mas evidentemente não; aí o que está sendo perguntado é (essencialmente) por que . $C'(3) \neq C(3)-C(2)$

mathematical-economics cost

— Quinn Culver
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Respostas:

A derivada é usada em alguns contextos, mas não em todos, quando a função de custo é diferenciável. Nesses contextos, tende-se a supor que a oferta é contínua, não discreta. Esta é uma questão de convenção e de conveniência analítica. Tem a vantagem de ser consistente, esteja você aproximando o ponto de suprimento de cima ou de baixo.

Mas em outros contextos, dada a sua função de custo, assumindo que o item a ser fornecido é discreto e não contínuo (ou seja, é possível fornecer 2 unidades ou 3 unidades, mas não 2,9 ou 3,5 ou qualquer outra unidade fracionária), então o marginal o custo do terceiro item é de fato 5, não 4.

— 410 ido
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O conceito mais importante aqui é a conveniência analítica. Usando quantidades discretas, MC = MR pode não ter um valor exato. Usando o cálculo, você chega ao valor exato. Ele fornece uma solução direta e exata. Não é uma solução aproximada.

— Jamzy 12/10

Existem funções que são contínuas e diferenciáveis e ainda podem ter um ponto de suprimento em que o custo marginal depende se você aborda o ponto de cima ou de baixo.

— HRSE 12/10

@HREcon, você pode dar um exemplo real de uma função de custo de fornecimento?

— 410 foi

é contínuo e diferenciável, mas não continuamente diferenciável (isto é, a derivada não é uma função contínua).

c (q) = {\begin{cases} q, & q \leq 1 \\ 2 q - 1, & q > 1 \end{cases}

$c(q)=\begin{cases} q, & q\leq 1\\ 2q-1, & q>1 \end{cases}$

— HRSE 12/10

@HREcon e isso é diferenciável em todos os lugares, exceto q = 1

— 410 ido

Para ajudá-lo a discernir os dois, vamos tentar explicar com palavras e entender quais informações estamos obtendo da derivada e da diferença, respectivamente:

O derivado fornece informações sobre a alteração no custo em relação à alteração na quantidade produzida , em um ponto local específico (quantidade) ¹ . Em outras palavras, você está medindo a mudança no custo em termos de mudança na quantidade. Mais matematicamente, a derivada do custo em relação à quantidade fornece a taxa de variação do custo sobre a taxa de variação na quantidade ou a inclinação da curva de custo .
A diferença entre dois pontos (quantidades) na curva de custo: fornece a diferença relativa de preço apenas desses dois pontos, não contabilizando todos os valores intermediários ² . Mais uma vez, matematicamente, a diferença apenas indica a distância no preço entre os dois pontos (quantidades). $C(3) − C(2) = 5$

Para concluir, a diferença entre os dois é a informação que eles fornecem, a saber:

derivado: taxa de variação do custo em termos de quantidade.
diferença: diferença entre o custo total de duas quantidades.

^{$2$ $C(q) = q^2$ $C′(2) = 4$ $4$}

^{$C(3) − C(2) = 5$}

— Ziezi
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Concordo que a diferença entre a derivada e a diferença é de taxa de variação instantânea versus média (que é essencialmente o que você disse, acho). Mas minha pergunta é por que a definição de custo marginal é instantânea, quando a caracterização informal parece se alinhar melhor com a média. Entendeu o que eu quis dizer?

— Quinn Culver

Acho que meu ponto / problema também pode ser visto da seguinte maneira: não vejo a diferença entre "se você está produzindo atualmente 2 itens, o próximo aumentará o custo com ___ unidades" e "o custo total para a produção de 3 itens é ___ unidades a mais do que o custo total da produção de 2 itens. " Essas duas frases parecem sinônimos e, portanto, as ___ devem corresponder. Entendeu o que eu quis dizer?

— Quinn Culver

Estou absolutamente convencido de que neste caso, muito bem, pode ser uma simples questão de convenção neste caso.

— Ziezi 12/12/2015

$C(q) = q^2$ $C(q)$

$\frac{C(3)-C(2)} {3-2}$ $q$ $q = 3$

$(q,C)$ $q$ $0$ $q$ $2 \leq q \leq 3$

— Owen Sechrist
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C (3) - C (2)

$C(3)-C(2)$

@QuinnCulver Seria útil no sentido de que você poderia gerar uma curva de custo marginal e depois usá-la em um modelo. Por exemplo, modelar uma empresa construindo a curva MC juntamente com várias outras (ATC, AVC, D = MR) e estabelecendo limites. denesp: obrigado pelas edições, preciso aprender como fazer isso!

— Owen Sechrist