Função de produção CES com

10

Ao usar funções de produção CES da forma $f(x_1,x_2)=(x_1^\rho+x_2^\rho)^{1/\rho}$ , sempre assumimos que $\rho\leq1$ . Por que fazemos essa suposição? Entendo que se $\rho>1$ , a função de produção não será mais côncava (e, portanto, o conjunto de produção não será convexo), mas o que isso implica nas funções de lucro e custo?

— Sher Afghan
fonte

3

ρ

$\rho$ acima de um resultaria em uma solução de canto em que apenas uma entrada é escolhida com quantidade positiva. Como o objetivo das funções de produção com vários bens é geralmente modelar circunstâncias em que duas entradas são realmente usadas, esse é um recurso indesejável.

— BKay

Haverá uma solução para o lucro máximo do problema?

— Sher Afghan

@SherAfghan, a função linear com

ρ = 1

$\rho = 1$ parece não pertencer à família CES, pois sua elasticidade de substituição não é constante.

— Garej

3

O problema com é que isso significa que o produto marginal dos fatores não está diminuindo ( ) ou constante ( ), mas aumentando, o que é uma suposição estranha. Tais funções produzem isoquantes côncavos e podem levar ao uso de apenas um fator (como disse BKay). $\rho>1$ $\rho<1$ $\rho=1$

Como em qualquer CES genérica, o produto marginal do fator é $x_i$

M P_{i} = {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ}

$MP_i = \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}$

A derivada deste MP em relação a é, após alguma reorganização, $x_i$

(ρ - 1) {(\frac{y}{x_{i}})}^{1 - ρ} (\frac{x_{- i}}{x_{i} y^{ρ}})

$(\rho-1) \left(\frac{y}{x_i}\right)^{1-\rho}\left(\frac{x_{-i}}{x_iy^{\rho}}\right)$

Para , essa expressão é positiva, o que significa que a produtividade de um fator aumenta à medida que mais desse fator é usado. $\rho>1$

Em relação aos isoquantes, você pode encontrá-los reescrevendo a função de produção como . No CES genérico, isso é $x_2=g(y,x_1)$

x_{2} = {(y^{ρ} - x_{1}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$x_2 = \left(y^{\rho} - x_1^{\rho}\right)^\frac{1}{\rho}$

Estes são lineares no caso de , convexos no caso de Cobb-Douglas (onde a função acima é $\rho=1$ , uma hipérbole) e côncava no caso de. Por exemplo, selecionee você terá: $x_2=\frac{y}{x_1}$ $\rho>1$ $\rho=2$

x_{2}^{2} = y^{2} - x_{1}^{2}

$x_2^2 = y^2 - x_1^2$

que é a fórmula de um círculo centrado em , com raio . Normalmente, para a teoria da produção, apenas é interessante, o que fornece isoquantes côncavos para diferentes níveis de . A figura abaixo mostra um exemplo: se, para uma determinada razão de preços de fatores, houver uma solução de canto (ponto A): $(0,0)$ $y$ $x_i \geq 0$ $y$

$\hskip3cm$

(Código para reproduzir a figura aqui )

— luchonacho
fonte

3

Aqui está minha tentativa desta pergunta, ela está incompleta e / ou incorreta, por isso, ajude a fazer sugestões e eu a editarei.

Minimização de custos

Como não é quase côncavo, as curvas isoquantes correspondentes não serão cobertas pela origem (ou seja, seu conjunto de contornos superiores não será convexo). Nesse caso, a empresa deve empregar soluções de canto e demandas condicionais de fatores serão dadas como; $f(x_1,x_2)$

x_{1} (p, y) = q^{2} a n d x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} < w_{2}

$x_1(p,y)=q^2 \quad and \quad x_2(p,y)=0 \quad\quad if\quad w_1< w_2$

x_{1} (p, y) = 0 a n d x_{2} (p, y) = q^{2} i f w_{1} > w_{2}

$x_1(p,y)=0 \quad and \quad x_2(p,y)=q^2 \quad\quad if\quad w_1>w_2$

Essas demandas de fator condicional fornecem a função de custo;

Maximização de Lucros

x_{1} (p, y) = 0, x_{2} (p, y) = q^{2} o r x_{1} (p, y) = q^{2}, x_{2} (p, y) = 0 i f w_{1} = w_{2}

$x_1(p,y)=0 , x_2(p,y)=q^2 \quad or \quad x_1(p,y)=q^2 , x_2(p,y)=0 \quad if\quad w_1=w_2$

C (w, y) = m i n [w_{1} q^{2}, w_{2} q^{2}]

$C(w,y)=min[w_1q^2,w_2q^2]$

$f(tx_1,tx_2)<tf(x_1,x_2) \quad\forall \quad t>1$

— Sher Afghan
fonte

1

(x_{1}^{ρ} + x_{2}^{ρ})^{θ / ρ}

$(x_1^{\rho}+x_2^{\rho})^{\theta/\rho}$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

ρ < 1

$\rho<1$

θ

$\theta$

ρ \to \infty

$\rho\rightarrow \infty$

θ

$\theta$

ρ

$\rho$

θ

$\theta$

ρ > 1

$\rho>1$

θ

$\theta$

θ \leq 1

$\theta \leq 1$

θ > 1

$\theta >1$

1

A existência de uma solução para o problema de maximização de lucro depende adicionalmente da estrutura do mercado. O problema de maximização de lucro de um monopolista ainda é geralmente bem definido, enquanto que para empresas que adotam preços não será esse o caso.

— HRSE

0

$\rho \geq 1$

$r$ $w$

$w=1$ $\pi(q)$ $p>0$ $\rho=2$

π (q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^{2} - 1)^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 1 \cdot (q^2 - 1)^{1/2}$

$\pi'' >0$

Para ver o mesmo efeito em um exemplo mais simples ( não derivado do CES), considere o seguinte:

π (q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1 / 2}

$\pi(q) = p \cdot q - 2 \cdot q^{1/2}$

SOC é . $\pi'' = (1/2)q^{-3/2} > 0$

Observe mas não, digamos, como de costume. Vamos comparar esses dois casos para no gráfico para apreciar a diferença. $q^{1/2}$ $q^2$ $p=1.7$

— garej
fonte