$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$

Prefácio

Esta questão está relacionada a esta sobre a elasticidade da substituição intertemporal e a esta sobre a definição de aversão ao risco absoluto . (Está relacionado ao segundo, na medida em que a definição de aversão ao risco relativo pode ser motivada pela quantidade que resolve

U (C (1 - R R A / 2)) = E [U (C (1 - ϵ)) ∣ C] .

$U(C(1-RRA/2)) = \E[U(C(1-\epsilon))\mid C].$

Questão

Nesta questão, quero saber como calcular a aversão relativa ao risco das preferências de Epstein-Zin.

Seja dada uma sequência de consumo $C=(C_0, C_1,...)$ e deixe $C_t^+ = (C_t, C_{t+1}, ...)$ . Agora, suponha que eu tenha preferências Epstein-Sin,

\begin{aligned} U_{t} (C_{t}^{+}) & = f (C_{t}, q (U_{t + 1} (C_{t + 1}^{+}))) \\ U_{t} & = {(1 - β) C_{t}^{1 - ρ} + β {(E_{t} [U_{t + 1}^{1 - γ}])}^{\frac{1 - ρ}{1 - γ}}}^{\frac{1}{1 - ρ}}, \end{aligned}

$\begin{align*} U_t(C_t^+) &= f(C_t, q(U_{t+1}(C_{t+1}^+))) \\ U_t &= \left \{(1-\beta) C_t^{1-\rho} + \beta \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1-\rho}{1-\gamma}} \right\}^{\frac{1}{1-\rho}}, \end{align*}$ onde

f

$f$ é o agregador de tempo e

q

$q$ é a condição operador equivalente de certeza. Ou seja,

f (c, q) = ((1 - β) c^{1 - ρ} + β q^{1 - ρ})^{\frac{1}{1 - ρ}}

$f(c,q) = ((1-\beta) c^{1-\rho} + \beta q^{1-\rho})^{\frac{1}{1-\rho}}$ e

q_{t} = q (U_{t + 1}) = {(E_{t} [U_{t + 1}^{1 - γ}])}^{\frac{1}{1 - γ}} .

$q_t = q(U_{t+1}) = \left(\E_t[U_{t+1}^{1-\gamma}]\right)^{\frac{1}{1-\gamma}}.$ Como mostro que o coeficiente de aversão ao risco relativo é

γ

$\gamma$ ?

Notas

A aplicação da definição usual de aversão ao risco relativo parece exigir cuidados. Se $RRA = -c u''(c)/u'(c)$ , precisaríamos ter cuidado com o tempo subscrito em $c$ . O cálculo dessas derivadas em relação a $C_t$ não nos daria a resposta correta. Provavelmente deve ser

R R A = - C_{t + 1} \frac{\partial^{2} U_{t}}{\partial C_{t + 1}^{2}} / \frac{\partial U_{t}}{\partial C_{t + 1}} .

$RRA = - C_{t+1} \left . \frac{\partial^2 U_t}{\partial C_{t+1}^2} \middle / \frac{\partial U_t}{\partial C_{t+1}} \right. .$

utility risk-aversion

— jmbejara
fonte

Observe que apenas "acompanha" a aversão ao risco, no sentido de que é mais avesso a riscos que se e somente se . Mas não é estritamente falando igual à aversão ao risco. O coeficiente de RRA é mais complicado e depende de . Eu não tenho uma prova agora, mas talvez olhar para o artigo de Epstein e Zin (1989) possa ajudar ... embora não seja um documento que eu qualificaria como "simples";) Mas se você encontrar algo que eu ' Também estaria interessado.

γ

$\gamma$

U^{1}

$U^1$

U^{2}

$U^2$

γ_{1} > γ_{2}

$\gamma_1>\gamma_2$

γ

$\gamma$

ρ

$\rho$

— Louis.

Na verdade, depois de olhar rapidamente para o artigo de Epstein e Zin, eles não parecem calcular os coeficientes de aversão ao risco de Arrow-Pratt, talvez nem existam de forma fechada ...

— Louis.

Como computo a aversão ao risco relativo das preferências de Epstein-Zin?

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