Por que o teorema do risco de corrida funciona?

Portanto, para quem não sabe, o teorema do risco de corrida (RHT) afirma que:

A x B + A 'x C = A x B + A' x C + B x C

Entendo a outra parte do RHT, sobre atrasos e outras coisas, mas não entendo por que a afirmação lógica acima deve ser verdadeira. Alguém pode me ajudar a entender isso?

Como outros já apontaram, matematicamente, as declarações são exatamente as mesmas e o termo adicional é "redundante". Também seria "redundante" para mim copiar suas provas matemáticas aqui.

Você também pode verificar facilmente se as instruções são equivalentes criando uma tabela verdade de 8 linhas para as três combinações de entradas.

    A B C           A*B + A'*C                       A*B + A'*C + B*C
    0 0 0               0                                    0
    0 0 1               1                                    1
    0 1 0               0                                    0
    0 1 1               1  ** hazard b/w states              1
    1 0 0               0                                    0
    1 0 1               0                                    0
    1 1 0               1                                    1
    1 1 1               1  ** hazard b/w states              1

O objetivo do termo extra é impedir que A cause qualquer alternância sempre que B e C estiverem altos.

Como exemplo, suponha que haja um atraso de tempo finito entre A e A '(razoável). Agora considere também que B e C são '1'. Como você pode ver nas formas de onda abaixo, há uma falha na saída.

Supondo que a lógica seja CMOS estática, a falha é recuperável. Mas, se houvesse algumas formas de lógica dinâmica, poderia propagar o erro.

A adição do termo redundante é uma solução para cobrir a falha.

Prova de álgebra booleana:

A x B + A 'x C [lado esquerdo]
= A x B x 1 + A' x C x 1 [Não simplifique AND com verdadeiro]
= A x B x (1 + C) + A 'x C x ( 1 + B) [Verdadeiro OR qualquer coisa]
= A x B x 1 + A x B x C + A 'x 1 x C + A' x B x C [Distribuir]
= A x B + A x B x C + A 'x C + A' x B x C [Simplifique AND com verdadeiro]
= A x B + A 'x C + A x B x C + A' x B x C [Reorganize os termos]
= A x B + A 'x C + (A + A ') x B x C [Fatorar]
= A x B + A' x C + 1 x B x C [A negação OR é verdadeira]
= A x B + A 'x C + B x C [ Lado direito]

Prova de casos:

• Suponha que B x C seja verdadeiro.
  Então B é verdadeiro e C é verdadeiro simultaneamente.
  Portanto, o lado direito se torna A x B + A 'x C + 1 x 1 = 1.
  O lado esquerdo se torna A x 1 + A' x 1, que é 1 independentemente de A.
  Portanto, o LHS é igual ao RHS.
• Suponha que B x C seja falso.
  Então o lado direito se torna A x B + A 'x C + 0 = A x B + A' x C, tornando-o idêntico ao LHS.
  Portanto, o LHS é igual ao RHS.

Em todos os casos, o LHS é igual ao RHS. Portanto, concluímos que as duas fórmulas sempre avaliam o mesmo valor.

Referências:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Consensus_theorem
• https://www.nayuki.io/page/boolean-algebra-laws

Considere o LHS por si só:
A x B + A 'x C

Se B e C forem verdadeiros nesta afirmação, a condição de A faz alguma diferença no resultado?
Não - porque (A x B) ou (A 'x C) será verdadeiro, produzindo um resultado verdadeiro.

Então, agora, olhando para o RHS, os dois primeiros termos AND são simplesmente uma duplicata do LHS, e o terceiro termo AND representa o que acabamos de descobrir sobre B & C.

$AB + A'C + BC = AB + A'C + (A+A')BC \textrm{ -- Multiply BC term by 1}\\ = AB + A'C + ABC + A'BC \textrm{ -- Distribute the term}\\ = (AB + ABC) + (A'C + A'BC) \textrm{ -- regroup} \\ = AB(1+C) + A'C (1 + B) \textrm{ -- factor} \\ = AB + A'C \textrm{ -- Simplify}$

Vamos dar uma olhada no mapa de karnaugh :

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$