Conversão de componentes do controlador PID com realimentação de estado em função de transferência única e forma discreta de espaço de estado

Estou lutando contra esse problema há cerca de uma semana, como parte de um projeto de um ano. Estamos projetando um controlador para um reator específico com base em um modelo. Depois de analisar isso por um tempo, ainda não consigo fazer isso funcionar - então eu realmente aprecio isso se conseguir alguma ajuda.

Uma das revisões de literatura publicadas em que nos baseamos fortemente lista um controlador PID em cada componente separado em vez de uma equação combinada, como segue:

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t uma r g e t] \\ Eu (n) = Eu (n - 1 1) + \frac{K_{p}}{T_{Eu}} [G (n) - t uma r g e t] \\ D (n) = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

Simplesmente combinando os três componentes na saída do controlador PID:

P Eu D (n) = P (n) + Eu (n) + D (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

E a partir daqui, o autor adiciona uma camada adicional de feedback de estado sobre o sinal PID para obter a saída final do controlador aplicada no sistema.

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1 1) + K_{1 1} Q (n - 1 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 1 + γ) P Eu D (n) - γ Q (n - 1 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

E R é a "saída do controlador" final. Aqui, é o ganho do processo, e são os ganhos integrais e derivativos, , e são "ganhos" ajustados para o feedback de estado (imutável) e é uma constante 0,5. é o estado do sistema, é um estado estimado que afeta a dinâmica do modelo e é a saída final real que é enviada para a planta. $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

Eu estava tentando primeiro converter tudo em uma única função de transferência de controlador, mas me disseram que simplesmente adicioná-los não funcionaria.

Também fui encarregado de encontrar uma representação discreta do espaço de estado desse controlador. Para isso, tentei alterar o para para me livrar desse problema. $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

Em seguida, tentei definir uma nova variável de estado para para que e pudessem ser convertidos em primeira ordem. $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

Tentei então substituir os valores no controlador PID, para obter o como a variável de estado. Esses esforços foram todos baseados em recomendações do meu professor. $G(n)$

No entanto, ainda estou muito preso, pois tenho seguido cegamente as instruções dele, sem uma visão geral para trabalhar nisso. Eu pensei que seria uma questão simples de transformação de Tustin - oh, como eu estava muito errado ...

Estou bastante frustrado, pois após um esforço de uma semana, ainda estou perplexo com o que parece ser um problema simples.

Se possível, posso humildemente pedir sua ajuda nessas duas perguntas específicas?

Converta esse controlador em uma única função de transferência de controlador (como normalmente visto em qualquer representação de função de transferência, ou seja, ) $G(s)=\frac{1}{s+1}$
Converter este controlador em uma representação discreta do espaço de estado, deixando a taxa de amostragem como uma variável?

control-system pid-controller

— John Galt
fonte

MATLAB e Maple podem resolver esses problemas. Eu tenho os dois programas. Imprimi sua postagem e tentarei trabalhar com eles. Eu fiz um pouco disso na faculdade.

— Wesley Wortman

Você pode dar o título da publicação?

— Hazem em Hazem

Não é uma resposta completa, mas espero que possa ser de alguma ajuda.

Você pode reescrever o primeiro sistema como

{\begin{cases} P (n) = K_{P} E (n) \\ Eu (n) = Eu (n - 1 1) + \frac{K_{P}}{T_{Eu}} E (n) Δ t \\ D (n) = K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1 1)}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

Onde e é o seu intervalo de amostragem. Observe que e não são definidos como ganhos. e são respectivamente o ganho integral e o ganho derivado. $E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

Agora você pode reescrever o sistema como uma única função do erro.

P Eu D (n) = P (n) + Eu (n) + D (n)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

Eu (n - 1 1) = P Eu D (n - 1 1) - P (n - 1 1) - D (n - 1 1) = P Eu D (n - 1 1) - K_{P} E (n - 1 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1 1) - E (n - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P Eu D (n) = K_{P} E (n) + P Eu D (n - 1 1) - K_{P} E (n - 1 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{Eu}} E (n) Δ t + K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1 1)}{Δ t} = P Eu D (n - 1 1) + K_{P} ((1 1 + \frac{Δ t}{T_{Eu}} + \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n) - (1 1 + 2 \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n - 1 1) + \frac{T_{D}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

O segundo é um pouco mais complexo para reescrever como uma única equação, mas você pode fazê-lo de maneira semelhante. O resultado deve ser

R (n) = K_{1 1} R (n - 1 1) - (γ K_{0 0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 1 + γ) (P Eu D (n) - K_{1 1} P Eu D (n - 1 1) + K_{2} P Eu D (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

Agora você só precisa substituir a equação do PID para obter a equação do regulador em função do erro.

— gvgramazio
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