Por que os números da série E são diferentes das potências de 10?

Os números da série E são os valores comuns usados ​​nos resistores. Por exemplo, os valores E6 são:

• 1.0
• 1.5
• 2.2
• 3.3.
• 4.7
• 6,8

Como você pode ver, cada um tem cerca de parte. Mas eu me pergunto por que eles não são os poderes de10$10^\frac16$ arredondados para 2 algarismos significativos.$10^\frac16$

• $10^\frac16 \approx 1.4678$
• $10^\frac26 \approx 2.1544$
• $10^\frac36 \approx 3.1623$
• $10^\frac46 \approx 4.6416$
• $10^\frac56 \approx 6.8129$

3.1623 não deve arredondar para 3,3, independentemente de arredondar para cima ou para baixo. E, arredondando para o número mais próximo, 4,6416 arredonda para 4,6.

O mesmo acontece em outros valores da série E. Por exemplo, os poderes de arredondados para 2 algarismos significativos são:$10^\frac{1}{12}$

• $10^\frac{0}{12} \approx 1.0$
• $10^\frac{1}{12} \approx 1.2$
• $10^\frac{2}{12} \approx 1.5$
• $10^\frac{3}{12} \approx 1.8$
• $10^\frac{4}{12} \approx 2.2$
• $10^\frac{5}{12} \approx 2.6$
• $10^\frac{6}{12} \approx 3.2$
• $10^\frac{7}{12} \approx 3.8$
• $10^\frac{8}{12} \approx 4.6$
• $10^\frac{9}{12} \approx 5.6$
• $10^\frac{10}{12} \approx 6.8$
• $10^\frac{11}{12} \approx 8.3$

Enquanto os valores E12 são:

• 1.0
• 1.2
• 1.5
• 1.8
• 2.2
• 2.7
• 3.3.
• 3.9
• 4.7
• 5.6
• 6,8
• 8.2

Os números 2.7, 3.3, 3.9, 4.7 e 8.2 de E12 são diferentes dos números correspondentes calculados acima.

Então, por que a série E de números preferenciais é diferente das potências de 10 arredondadas para o número mais próximo?

Eu realmente gostei da sua pergunta e definitivamente a levantei. Sua pergunta me fez pensar e fazer algumas leituras adicionais sobre o assunto. E eu realmente aprecio o que aprendi com o processo e que você estimulou esse processo para mim. Obrigado!

Contexto histórico

Eu não vou voltar para os dias da Babilônia aqui. (Provavelmente, todo o conceito remonta tão longe e mais.) Mas vou começar cerca de um século atrás.

Charles Renard propôs algumas maneiras específicas de organizar números para dividir intervalos (decimais). Ele se concentrou em dividir um intervalo de décadas em 5, 10, 20 e 40 etapas, em que o logaritmo de cada valor de etapa formaria uma série aritmética. E estes ficaram conhecidos como R5, R10, R20 e R40. Obviamente, existem muitas outras opções que podemos fazer. Mas esses eram dele, na época.

$10\cdot 10^\frac{0}{20}\approx 10$$10\cdot 10^\frac{3}{20}\approx 14$$10\cdot 10^\frac{6}{20}\approx 20$$10\cdot 10^\frac{9}{20}\approx 28$$10\cdot 10^\frac{12}{20}\approx 40$$10\cdot 10^\frac{15}{20}\approx 56$$10\cdot 10^\frac{18}{20}\approx 79$$10$$40$ então você pode usar apenas os primeiros desse conjunto: 10, 14, 20, 28 e 40.

Se você quiser ler mais, o exposto e muito mais podem ser encontrados em uma publicação chamada NBS Technical Note 990 (1978) . (O Bureau Nacional de Padrões [NBS] agora é NIST.)

Enquanto isso, após a Segunda Guerra Mundial, houve um forte impulso na padronização de peças fabricadas. Então, vários grupos, em vários momentos, trabalharam bastante para "racionalizar" os valores padrão para auxiliar na fabricação, instrumentação, número de dentes nas engrenagens e ... bem, quase tudo.

Percorra a série E de números preferidos e anote os documentos associados e seu histórico. No entanto, os documentos mencionados nessa página da Wikipedia não cobrem como esses números preferidos foram escolhidos. Para isso, existe a "ISO 497: 1973, Guia para a escolha de séries de números preferenciais e de séries que contêm valores mais arredondados de números preferenciais". e também "ISO 17: 1973, Guia para o uso de números preferenciais e de séries de números preferenciais". Como não tenho acesso a esses documentos, não fui capaz de lê-los, apesar de, em particular, a ISO 497: 1973 parecer um bom lugar para ir.

Série E (Geométrica)

Ainda não encontrei detalhes específicos sobre o algoritmo preciso aplicado algumas décadas atrás para a pergunta que você fez. A idéia de "racionalizar números" não é uma idéia difícil, mas o processo exato que foi aplicado está muito além da minha capacidade de ter certeza de engenharia reversa agora. E não consegui descobrir um documento histórico que o divulgasse. Alguns dos elementos só podem ser trazidos à luz possuindo os documentos completos relacionados às suas escolhas finais. E ainda não encontrei esses documentos. Mas estou confiante de que consegui descobrir o que deve ter sido o processo deles para a questão do resistor.

Uma das coisas mencionadas no NBS Pub. 990, é o fato de que diferenças e somas de números preferenciais não devem, elas próprias, ser números preferenciais. Isso é uma tentativa de fornecer cobertura para outros valores no intervalo da década, quando valores explícitos falham em atender a uma necessidade (usando dois valores em uma organização de soma ou diferença).

Lembre-se de que esta questão de cobertura é mais importante para séries como E3 e E6 e quase não é importante para E24, por exemplo, que contém diretamente muitos valores intermediários. Com isso, em mente, o seguinte é o meu pensamento sobre o pensamento deles. Talvez não se afaste muito do raciocínio real para o processo de "racionalizar" valores e tomar uma decisão final sobre os valores preferenciais que eles finalmente escolheram usar.

Meu raciocínio

Há uma planilha muito agradável e simples de analisar a que resume os valores da série E para resistores: Vishay E-Series .

Aqui está minha imagem dos valores da série E de dois dígitos, que também incluem os valores calculados:

Aqui está o meu processo, considerando o exposto acima, que acredito ser pelo menos semelhante ao raciocínio usado há muitos anos:

1. A idéia de cobertura é mais crucial para o E3 e menos crucial para o E24. Uma rápida olhada no E3 sugere um problema com os valores arredondados de 10, 22 e 46. Todos são números pares e não há maneira possível de compor números ímpares usando apenas números pares. Portanto, um desses números deve mudar. Eles não podem mudar 10. E para mudar uma, as únicas duas possibilidades restantes são: (1) 10, 22, 47; ou (2) 10, 23, 46. Mas a opção (2) tem um problema: a diferença entre 46 e 23 é 23, que por si só é um número na sequência. E isso é motivo suficiente para eliminar a opção (2). Isso deixa apenas a opção (1) 10, 22 e [47]. Então isso determina E3. (Usarei [] para envolver valores de sequência modificados e <> para envolver valores que devem ser preservados da sequência anterior.)
2. Para o E6, ele deve preservar as opções de valor do E3, inserindo seus próprios valores no meio. Nominalmente, E6 é então <10>, 15, <22>, 32, [47] e 68. No entanto, a diferença entre 32 e 22 é 10 e esse é um dos valores já na sequência. Além disso, 47 menos 32 é 15. Novamente, 32 está envolvido em uma situação problemática. Nem 22, nem 47 podem ser alterados (eles são herdados.) Portanto, a escolha óbvia (e única) é ajustar a sequência E6 para <10>, 15, <22>, [33], [47] e 68. Os valores de diferença e soma agora também oferecem cobertura .
3. Para E12, ele deve preservar as opções de valor de E6, inserindo seus próprios valores. Nominalmente, E12 é então <10>, 12, <15>, 18, <22>, 26, [33], 38, [47], 56, <68> e 83. O número 83 já tem um problema, desde 83 menos 68 é 15 e isso já está na sequência. 82 é a alternativa mais próxima. Além disso, o intervalo entre 22 e 26 é 4, enquanto o intervalo entre 26 e 33 é 7. Os intervalos devem, grosso modo, aumentar monotonicamente. Essa situação é grave e a única opção é ajustar 26 para a próxima opção mais próxima, 27. A sequência agora é <10>, 12, <15>, 18, <22>, [27], [33], 38, [47], 56, <68> e [82]. Mas temos novamente um problema com 38, com um intervalo anterior de 5 e um intervalo seguinte de 9. Novamente, a única correção para isso é ajustar 38 para a próxima opção mais próxima, 39.
4. O E24 passa por um processo semelhante. Começa nominalmente como: <10>, 11, <12>, 13, <15>, 16, <18>, 20, <22>, 24, [27], 29, [33], 35, [39], 42, [47], 51, <56>, 62, <68>, 75, [82] e 91. Acho que agora, você pode aplicar a lógica que apliquei anteriormente e obter a final sequência de (sem largar o <> mas sair do indicador []): 10, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 22, 24, [27], [30], [33], [36 ], [39], [43], [47], 51, 56, 62, 68, 75, [82] e 91.

Acho que você concorda que esse processo é racional e leva diretamente ao que vemos hoje.

(Eu não analisei a lógica aplicada a todos os valores da série E de três dígitos: E48, E96 e E192. Mas acho que já há o suficiente acima e acredito que isso funcionará da mesma forma. Se você encontrar algo diferente , Ficarei feliz em analisá-lo também.)

O processo final de racionalização, em direção a números preferenciais, é mais ou menos assim:

Acima, você pode ver as etapas envolvidas e onde as alterações são feitas e como elas são levadas adiante (leitura da direita para a esquerda, é claro).

Notas

• A soma ou diferença de números preferenciais tendem a evitar ser um número preferido, sempre que possível. Isso é necessário para fornecer a maior cobertura possível.
• O produto, ou quociente, ou qualquer poder positivo ou negativo integral dos números preferidos será um número preferido.
• O quadrado de um número preferido na série E12 produz um valor na série E6. Da mesma forma, o quadrado de um número preferido na série E24 produz um valor na série E12. Etc.
• Tomar a raiz quadrada de um número preferido na série E12 produz um valor intermediário na série E24 que não está presente na série E12. Da mesma forma, obter a raiz quadrada de um número preferido na série E6 produz um valor intermediário na série E12 que não está presente na série E6. Etc.

O exposto acima é exatamente verdadeiro ao usar os valores teóricos, em vez dos preferenciais. (Os valores preferenciais foram ajustados, portanto, haverá algum desvio devido a esse fato, usando valores preferenciais em vez dos valores exatos.)

Pergunta interessante que me levou a descobrir e conhecer um pouco da história dos problemas e o raciocínio por trás dos números preferidos que eu ainda não havia compreendido antes.

Então obrigado!