Como a teoria do controle se aplica ao meu conversor de impulso controlado pelo processador do mundo real?

Eu tenho um entendimento limitado da teoria do controle. Eu lidei com postes e zeros e transfiro funções na escola. Eu implementei vários esquemas de controle baseados em microprocessador para conversores DC / DC. Como essas duas coisas se relacionam, eu ainda tenho que descobrir e gostaria. Basear projetos em tentativa e erro pode funcionar, mas eu prefiro ter uma compreensão mais profunda do que estou fazendo e quais são as consequências.

As respostas devem se concentrar em como analisar o sistema, não em como melhorá- lo. Dito isto, se você tiver sugestões para melhorar o sistema e desejar dar uma razão analítica, isso seria fantástico! Contanto que a melhoria seja secundária à análise.

Meu sistema de exemplo para os fins desta pergunta:

• C1: 1000uF
• C2: 500uF
• L1: 500 uH
• Frequência de comutação: 4 kHz
• R1: Variável
• Tensão de entrada: 400 volts
• Alvo de tensão de saída: 500 volts
• Limite de corrente de saída: 20 amperes

Estou tentando regular a tensão de saída, sem exceder o limite de corrente de saída. Tenho sensores de tensão e corrente, que passam por vários estágios de amplificação que não estou analisando neste momento, mas que incluem alguma filtragem. Isto é seguido por um filtro passa-baixa RC de 100 ohms e 1000 pF diretamente no conversor A / D. As amostras A / D a 12 kHz. Esse valor passa por um filtro de média móvel IIR unipolar das últimas 64 amostras.

Depois disso, tenho dois loops de PI. Primeiro, o circuito de tensão. A seguir, é apresentado um pseudocódigo, com valores dimensionados para volts, mA e nanossegundos. Suponha que a verificação de limites seja implementada corretamente em outro lugar. A estrutura desses loops define P em termos de inclinação máxima permitida se não houver termo integral e, em seguida, define o termo integral de forma que um integrador com saída máxima possa compensar exatamente essa inclinação. As constantes INTEGRAL_SPEED determinam a rapidez com que os integradores fazem spool. (Parece-me uma maneira razoável de garantir que P e eu sempre alcancemos o equilíbrio corretamente, independentemente de como defino minhas constantes, mas estou aberto a outras sugestões.)

#DEFINE VOLTAGE_DROOP 25
#DEFINE VOLTAGE_SETPOINT 500
#DEFINE MAX_CURRENT_SETPOINT 20000

voltage_error = VOLTAGE_SETPOINT - VOLTAGE_FEEDBACK
current_setpoint = MAX_CURRENT_SETPOINT * voltage_error/VOLTAGE_DROOP

#define VOLTAGE_INTEGRAL_SPEED 4
voltage_integral += voltage_error/VOLTAGE_INTEGRAL_SPEED
//insert bounds check here
current_setpoint += VOLTAGE_DROOP * voltage_integral/MAX_VOLTAGE_INTEGRAL

#DEFINE CURRENT_DROOP 1000
#DEFINE MAX_ON_TIME 50000

current_error = current_setpoint - current_feedback
pwm_on_time = MAX_ON_TIME * current_error/CURRENT_DROOP

#define CURRENT_INTEGRAL_SPEED 4
current_integral += current_error/CURRENT_INTEGRAL_SPEED
//insert bounds check here
pwm_on_time += CURRENT_DROOP * current_integral/MAX_CURRENT_INTEGRAL

Então, eu tenho um conversor de impulso com dois capacitores, uma bobina, uma carga variável (que poderia ser uma função de etapa), feedback com filtros RC monopolar, um conversor A / D, filtros digitais IIR monopolar e dois loops PI alimentando um ao outro. Como se analisa uma coisa dessas da perspectiva da teoria de controle (pólos, zeros, funções de transferência etc.), particularmente para selecionar corretamente meus parâmetros do loop de controle?

A maior parte do que é abordado no estudo de controles básicos são sistemas lineares invariantes no tempo. Se você tiver sorte, também poderá obter amostragens discretas e transformações z no final. Obviamente, as fontes de alimentação de modo de comutação (SMPS) são sistemas que evoluem através de estados topológicos de maneira descontínua no tempo e também têm respostas não lineares. Como resultado, o SMPS não é bem analisado pela teoria de controle linear padrão ou básico.

De alguma forma, para continuar usando todas as ferramentas conhecidas e bem compreendidas da teoria de controle; como gráficos de Bode, gráficos de Nichols etc., algo deve ser feito sobre a invariância do tempo e a não linearidade. Veja como o estado do SMPS evolui com o tempo. Aqui estão os estados topológicos do Boost SMPS:

Cada uma dessas topologias separadas é fácil de analisar por si só, como um sistema invariante no tempo. Mas, cada uma das análises tomadas separadamente não é de muita utilidade. O que fazer?

Enquanto os estados topológicos mudam abruptamente de um para o outro, há quantidades ou variáveis ​​que são contínuas através do limite de comutação. Estes são geralmente chamados de variáveis ​​de estado. Os exemplos mais comuns são a corrente do indutor e a tensão do capacitor. Por que não escrever equações com base nas variáveis ​​de estado para cada estado topológico e tomar uma média das equações de estado combinando como uma soma ponderada para obter um modelo invariante no tempo? Esta não é exatamente uma idéia nova.

Média do Espaço de Estado - Média do estado do lado de fora em

Nos anos 70, Middlebrook 1, da Caltech, publicou o artigo seminal sobre a média do espaço de estados para o SMPS. O artigo detalha a combinação e a média de estados topológicos para modelar a resposta de baixa frequência. Os estados médios do modelo de Middlebrook ao longo do tempo, que para o controle PWM de frequência fixa, se resumem à ponderação do ciclo de trabalho (CC). Vamos começar com o básico, usando o circuito de reforço operando no modo de condução contínua (CCM) como exemplo. No ciclo de serviço no estado do comutador ativo, a tensão de saída está relacionada à tensão de entrada como:

$V_o$$\frac{V_{\text{in}}}{1-\text{DC}}$

As equações para cada um dos dois estados e suas combinações médias são:

$\begin {array} {cccc} &\text {Active State} &\text {Passive State} &\text {Ave State} \\ \text {State Var $\backslash $ Weight} &\text {DC} &\text {(1 - DC)} & \\ \frac {\text {di} _L} {\text {dt}} &\frac {V_ {\text {in}}} {L} &\frac {-V_C + V_ {\text {in}}} {L} &\frac {(-1 + \text {DC}) V_C + V_ {\text {in}}} {L} \\ \frac {\text {dV} _C} {\text {dt}} & - \frac {V_C} {C R} &\frac {i_L} {C} - \frac {V_C} {C R} &\frac {(R - \text {DC} R) i_L - V_C} {C R} \end {array}$

Ok, isso cuida da média dos estados, resultando em um modelo invariante no tempo. Agora, para um modelo linearizado (ac) útil, um termo de perturbação precisa ser adicionado ao parâmetro de controle DC e a cada variável de estado. Isso resultará em um termo em estado estacionário, somado a um termo em duas partes.

$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}$
$i_L\rightarrow I_{\text{Lo}} + i_L$
$V_c\rightarrow V_{\text{co}} + v_c$
$V_{\text{in}}\rightarrow V_{\text{ino}} + v_{\text{in}}$

Substitua-os nas equações médias. Como esse é um modelo de CA linear, você deseja apenas os produtos variáveis ​​de 1ª ordem, portanto, descarte qualquer produto com dois termos de estado estacionário ou dois termos de dois dígitos.

$\frac{d v_c}{\text{dt}}$$\frac{\left(1-\text{DC}_o\right) i_L-I_{\text{Lo}} d_{\text{ac}}}{C} -\frac{v_c}{C R}$
$\frac{d i_L}{\text{dt}}$$\frac{d_{\text{ac}} V_{\text{co}}+v_c \left(\text{DC}_o-1\right)+v_{\text{in}}}{L}$

$\frac{d}{\text{dt}}$$\text{j$\omega $}$$v_c$$d_{\text{ac}}$

$\frac{v_c}{d_{\text{ac}}}$$\frac{-V_{\text{co}} \text{DC}_o+V_{\text{co}}-L I_{\text{Lo}} s}{C L s^2+\text{DC}_o^2-2 \text{DC}_o+\frac{L s}{R}+1}$

$f_{\text{rhpz}}$$f_{\text{cp}}$

$f_ {\text {rhpz}}$$\frac{V_{\text{co}} \left(1-\text{DC}_o\right){}^2}{2 \pi L i_o}$

$f_{\text{cp}}$$\frac{1-\text{DC}_o}{2 \pi \sqrt{L C}}$

$f_ {\text {rhpz}}$$f_{\text{cp}}$

Os gráficos de ganho e fase mostram os pólos complexos e o meio plano direito zero. Q dos polos é tão alto porque a VHS de L1 e C2 não foi incluída. Adicionar elementos de modelo extras agora exigiria voltar e adicioná-los às equações diferenciais iniciais.

Eu poderia parar por aqui. Se tivesse, você teria o conhecimento de um tecnólogo de ponta ... a partir de 1973. A guerra do Vietnã terminaria e você poderia parar de suar o número ridículo de loteria de serviços seletivos que tinha. Por outro lado, camisas de nylon brilhantes e discoteca seriam quentes. Melhor seguir em frente.

Modelo de switch médio PWM - Estado da média de dentro para fora

No final dos anos 80, Vorperian (um ex-aluno de Middlebrook) teve uma enorme visão sobre a média do estado. Ele percebeu que o que realmente muda ao longo de um ciclo é a condição da troca. Acontece que a dinâmica do conversor de modelagem é muito mais flexível e simples na média do comutador do que na média dos estados do circuito.

Após o Vorperian 2 , elaboramos um modelo de switch PWM médio para o aumento do CCM. Começando do ponto de vista de um par de comutador canônico (comutador ativo e passivo juntos) com nós de entrada e saída para comutador ativo (a), comutador passivo (p) e o comum dos dois (c). Se você voltar à figura dos 3 estados do regulador de impulso no modelo de espaço de estados, verá uma caixa sendo desenhada em torno dos comutadores que mostram a conexão do modelo médio do PWM.

$V_{\text{ap}}$$V_{\text{cp}}$$i_a$$i_c$

$V_{\text{ap}}$$\frac{V_{\text{cp}}}{\text{DC}}$

e

$i_a$$i_c$

Em seguida, adicione a perturbação

$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}$
$i_a\rightarrow I_a + i_a$
$i_c\rightarrow I_c + i_c$
$V_{\text{ap}}\rightarrow V_{\text{ap}} + v_{\text{ap}}$
$V_{\text{cp}}\rightarrow V_{\text{cp}} + v_{\text{cp}}$

tão,

$v_{\text{ap}}$$\frac{v_{\text{cp}}}{\text{DC}_o}$$\frac{d_{\text{ac}} V_{\text{ap}}}{\text{DC}_o}$

e,

$i_a$$i_c \text{DC}_o + i_c d_{\text{ac}}$

Essas equações podem ser roladas em um circuito equivalente adequado para uso com o SPICE. Os termos com o estado estacionário CC combinados com pequenas tensões ou correntes CA de sinal são funcionalmente equivalentes a um transformador ideal. Os outros termos podem ser modelados como fontes dependentes em escala. Aqui está um modelo de CA do regulador de impulso com um comutador PWM médio:

Os gráficos Bode do modelo de switch PWM são muito semelhantes ao modelo de espaço de estado, mas não são exatamente iguais. A diferença se deve à adição de VHS para L1 (0,01Ohms) e C2 (0,13Ohms). Isso significa perda de cerca de 10W em L1 e ondulação de saída de cerca de 5Vpp. Portanto, o Q do par de polos complexo é menor e o rhpz é difícil de ver, pois sua resposta de fase é coberta pelo zero ESR do C2.

O modelo de switch PWM é um conceito intuitivo muito poderoso:

• O comutador PWM, como derivado do Vorperian, é canônico. Isso significa que o modelo mostrado aqui pode ser usado com topologias boost, buck ou boost-buck, desde que sejam CCM. Você só precisa alterar as conexões para combinar p com a chave passiva, a com a chave ativa ec com a conexão entre as duas. Se você quiser o DCM, precisará de um modelo diferente ... e é mais complicado que o modelo do CCM ... você não pode ter tudo.

• Se você precisar adicionar algo ao circuito como ESR, não há necessidade de voltar às equações de entrada e começar de novo.

• É fácil de usar com o SPICE.

• Os modelos de switch PWM são amplamente cobertos. Há uma gravação acessível em "Noções básicas sobre os estágios de potência de reforço nas fontes de alimentação de modo alternado" de Everett Rogers (SLVA061).

$f_s$$T_s$$T_s$ , é hora de começar a se preocupar com a precisão).

Agora você está nos anos 90. Os telefones celulares pesam menos de um quilo, há um PC em todas as mesas, o SPICE é tão onipresente que é um verbo e os vírus de computador são uma coisa. O futuro começa aqui.

1 1 GW Wester e RD Middlebrook, "Caracterização de baixa frequência de conversores DC - Dc comutados", IEEE Transactions an Aerospace and Electronic Systems, vol. AES - 9, pp. 376 - 385, maio de 1973.

2 V. Vorperian, "Análise Simplificada de Conversores PWM Utilizando o Modelo do Switch PWM: Partes I e II", Transações IEEE em Sistemas Aeroespaciais e Eletrônicos, vol. AES - 26, pp. 490 - 505, maio de 1990.

Uma simplificação grosseira da teoria de controle:

Basicamente, você precisa começar com um modelo. É bastante fácil modelar o conversor físico que você está analisando. Existem modelos matemáticos por aí que replicam o comportamento elétrico do conversor de impulso com um alto grau de precisão.

O que é complicado é modelar seu sistema de controle. Uma ferramenta que vem à mente é o PSIM , que permite modelar muitos parâmetros digitais como blocos discretos (quantização, conversão A / D, filtro IIR, atrasos etc.) - isso oferece uma sandbox fácil para você brincar sem arriscar hardware .

O próximo passo é analisar a 'planta' do controle à produção, para entender exatamente o que você está tentando compensar. Isso geralmente é feito em malha aberta, definindo um ponto de operação CC (sem feedback), injetando perturbações em uma faixa de frequências e medindo as respostas.

Depois de obter sua resposta em malha aberta, é possível projetar um compensador que garanta margens operacionais suficientes para estabilidade (margem de fase suficiente no cruzamento do ganho zero, atenuação suficiente em 180 graus de fase). Em seguida, você implementa seu controlador na forma de bloco (ou em pseudocódigo) na simulação e testa a resposta em circuito fechado.

Usar uma ferramenta de simulação seria útil, mas o básico do circuito é que você está transferindo energia 4.000 vezes por segundo e a potência da carga é que a transferência de energia é multiplicada pelo número de vezes por segundo em que a energia é transferida.

$\frac{L I^2}{2}$$\sqrt{\frac{2}{500 \times 10^{-6}}}$

Quando o IGBT entra em circuito aberto, essa energia é liberada via diodo S1 no circuito de carga.

$E = L \frac{di}{dt}$ podemos trabalhar para fora quanto tempo as necessidades IGBT ser "on" para - este é dt e, claro, sabemos di = 63A. Também conhecemos E (400V) e L.

$\frac{500 \times 10^{-6}\times 63}{400}=79\mu s$

Se o resistor de carga fosse menor, seria necessário transferir mais potência e a corrente de pico no indutor seria maior e isso obviamente significa um período mais longo pelo qual o IGBT permanece.

$\mu s$$\mu s$$\frac{dq}{dt} = C \frac{dv}{dt}$

$\frac{dq}{dt} =$$\frac{dv}{dt} =$