Projeto do controlador com método de posicionamento de pólos com determinado amortecimento e tempo de estabilização

I deu os seguintes equações e pediu para conceber um controlador para usando um método de colocação do poste com o sistema de circuito fechado com o amortecimento e o tempo de estabilização dadas. $u=-Kx$ $T_s$

Devo usar as equações e ou elas são totalmente irrelevantes? $\dot x_1$ $\dot x_2$

Além disso, qual método de posicionamento de pólo é mais fácil para o caso, locus de raiz ou gráficos de Bode e Nyquist?

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = x_{2} \\ {\dot{x}}_{2} = - x_{1} + \frac{1}{6} x_{1}^{5} - x_{2} + u \\ u = - K x ζ = 1.02 T_{s} = 0.40 \end{matrix}

$\begin{gather} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = -x_1 +\dfrac{1}{6}x_1^5-x_2+u \\ u = -Kx \quad \zeta=1.02 \quad T_s = 0.40 \end{gather}$

control-engineering control-theory stability

— spe4ker
fonte

x_{1}^{5}

$x_1^5$

então, o processo seria linearizar e projetar o controlador?

— spe4ker

{\dot{x}}_{1} = {\dot{x}}_{2}

$\dot{x}_1=\dot{x}_2$

{\dot{x}}_{1} = x_{2}

$\dot{x}_1=x_2$

x_{2}

$x_2$

Passo 1

A primeira coisa a fazer é determinar os pólos desejados.

$\omega =\frac{4}{\zeta T_s}$ $\omega =9.80392$

$s^2+2 \zeta s \omega +\omega ^2$ $s^2+20 s+96.1169$ $-11.9706$ $-8.02944$

Passo 2

\dot{x} = A . x + B . v

$\dot{x}=\text{A}.x+\text{B}.v$

x = {(\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \end{array})}^{T} v = u + \frac{x_{1}^{5}}{6}

$x=\left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ \end{array} \right)^T \ \ \ v=u+\frac{x_1^5}{6}$

A = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) B = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ B=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)$

$v=-k.x$

k = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}) . {(\begin{array}{cc} B & A . B \end{array})}^{- 1} . (A^{2} + 20 A + 96.1169 I)

$k=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \end{array} \right). \left( \begin{array}{cc} \text{B} & \text{A}.\text{B} \\ \end{array} \right)^{-1}. (\text{A}^2+20 \text{A}+96.1169I)$

k = (\begin{array}{cc} 95.1169 & 19 \end{array})

$k=\left( \begin{array}{cc} 95.1169 & 19 \\ \end{array} \right)$

Passo 4

$u$

u + \frac{x_{1}^{5}}{6} = - 95.1169 x_{1} - 19 x_{2}

$u+\frac{x_1^5}{6}=-95.1169 x_1-19 x_2$

u = - 95.1169 x_{1} - 19 x_{2} - \frac{x_{1}^{5}}{6}

$u=-95.1169 x_1-19 x_2-\frac{x_1^5}{6}$

Passo 5

Verificação. Temos que ver se o projeto atendeu aos requisitos. (Essas simulações foram feitas no Mathematica. Os cálculos acima também poderiam ter sido feitos lá. Passei por eles manualmente acima para explicar as coisas.) A partir do gráfico, vemos que a restrição de tempo de acomodação foi satisfeita.

— Suba Thomas
fonte

Explicação muito detalhada. Eu entendo que o ponto principal foi partir da suposição de um comportamento de segunda ordem dominante e encontrar os pólos de loop fechado de s2 + 2ζsω + ω2 = 0. Se eu não tiver acesso ao mathematica ou ao matlab, posso calcular o tempo de estabilização com o e ^ ζswts olhando apenas para o gráfico padrão?

— spe4ker

Além disso, se eu quisesse provar a estabilidade do sistema através do método da função lyapunov, como posso aproximar uma equação inicial?

— spe4ker

\frac{x_{1}^{5}}{6}

$\frac{x_1^5}{6}$

\frac{4}{ζ ω}

$\frac{4}{\zeta \omega }$

\dot{x} = A . x + B . v

$\dot{x}=A.x+B.v$

v = - K . x

$v=-K.x$