Por que é impossível criar um observador para esse sistema não totalmente observável?

Considere uma massa de ponto 1D se movendo ao longo de um eixo. Uma força é aplicada como controle. Não há gravidade ou outras forças envolvidas. O sistema pode ser descrito nas equações de espaço de estados como:$u$

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

O sistema mostrado é controlável, mas não observável. Nem estruturalmente observável e certamente não totalmente observável. Portanto, deve ser impossível construir um observador para esse sistema.

No entanto, se eu souber o estado inicial do sistema, posso calcular o estado completo a qualquer momento, ou seja, integrando a saída do sistema. Como isso se alinha com o conceito de observabilidade? Como eu incorporaria o estado inicial nas equações?

Não consigo encontrar o erro na minha linha de pensamento, mas estou certo de que existe um. Entendo mal a observabilidade?

Observabilidade significa que você pode estimar o estado completo usando apenas a saída, sem conhecer o estado inicial. Em outras palavras, você precisa descobrir onde está sem saber onde estava inicialmente.

Uma razão mais prática pela qual isso raramente funciona é que, quando você está limitado por sensores não perfeitos e tempo de amostragem diferente de zero, a integral da aceleração causará erros crescentes em suas estimativas de posições e velocidade. Portanto, mesmo se você souber o estado inicial, "perderá o controle" com o tempo.