A quantidade adimensional é radiana?

Muitas vezes, ao calcular a velocidade angular, nos deparamos com a quantidade de radianos por segundo. Dimensionalmente, como eu trato radiano como? Explique vividamente.

radiano é uma unidade derivada , definida como a razão entre o comprimento do arco e o raio. Como a relação de dois comprimentos é adimensional.

TL / DR

Como as outras respostas afirmaram, os radianos são sem dimensão.

Ciclos e Voltas

Essa é uma pergunta que parece surgir com frequência e de muitos lugares diferentes; não só de estudantes e leigos, mas tenho visto muitos profissionais para quem o conceito de radianos causa dificuldades.

Uma maneira que parece ajudar a intuição de algumas pessoas é deixar de lado a ideia de radianos e, em vez disso, falar sobre ciclos e curvas de um círculo.

Como o mundo se transforma

Considere, por exemplo, a rotação da Terra ao redor do Sol. Podemos chamar cada vez que a Terra completar uma viagem ao redor do sol como um ciclo ou uma volta completa em seu caminho. Note que não importa que a viagem da Terra ao redor do Sol seja NADA como um círculo; a viagem em si é o ciclo.

Usando essa terminologia, o cálculo da velocidade angular média da Terra é muito simples: .$1 \frac{cycle}{year}$

A conversão de por ano para por segundo é bastante trivial:

$1 \frac{cycle}{year}\frac{1~year}{365~days}\frac{1~day}{24~hours}\frac{1~hour}{3600~seconds}=1 \frac{cycle}{31.5576E6~seconds}$

Além disso, a unidade para é . Assim:$1 \frac{cycle}{second}$$hz$

$1 \frac{cycle}{year}=1 \frac{cycle}{31.5576E6~seconds}=316.9~\text{microhz, or mhz}$

Novamente: , ou podemos também dizer . Lembre-se: um ciclo e um turno são a mesma coisa .$1 hz = 1 \frac{cycle}{second}$$\frac{turn}{second}$

Círculos como modelos úteis

Acontece (<- engraçado!) Que círculos são uma maneira muito útil de modelar ciclos / curvas. Embora o caminho da Terra não seja um círculo , podemos usar um círculo para mapear a posição da Terra em qualquer ponto do tempo em que nos interessarmos contra outras coisas em que estamos interessados. Usaremos as estações como uma ilustração.

Para facilitar as coisas, vamos supor que um ciclo solar de 1 ano começa no solstício de inverno: 21 de dezembro. Portanto, podemos ter o seguinte modelo de um ano:

Então, agora, podemos fazer as seguintes declarações bastante intuitivas:

1. O inverno ocorre em 0 turnos, 1 turno, 2 turnos, etc etc.
2. A primavera ocorre em 0,25 voltas, 1,25 voltas, 2,25 voltas, etc etc.
3. O verão ocorre em 0,5 voltas, 1,5 voltas, 2,5 voltas, etc etc.
4. A primavera ocorre em 0.75 voltas, 1.75 voltas, 2.75 voltas, etc etc.

Porque nós escolhemos um círculo como um modelo de um ciclo solar ou turno, agora temos algumas ferramentas muito úteis disponíveis para uso "de graça". Essas ferramentas podem nos ajudar a analisar nosso modelo de maneira matematicamente rigorosa. Para colocar de outra forma: escolhemos um círculo precisamente porque conhecemos todo o tipo de coisas legais sobre círculos que podemos usar para nos ajudar a entender melhor um ciclo solar. Vou dar um exemplo no final.

O que é um radiano, realmente?

Uma das coisas que recebemos de graça: para os círculos, sabemos que a relação entre o raio e a circunferência é uma relação constante . De acordo com o que fizemos até agora, vamos nos referir à circunferência do círculo como uma volta ou um ciclo . Essa proporção é:

$\frac{1~\text{turn}}{1~\text{radius}}=2\pi\rightarrow 1~\text{turn}=2\pi~\text{radii}$

Se dividirmos ambos os lados dessa equação por , finalmente chegaremos à definição de radiano. Qual é a proporção do raio do círculo para uma volta completa do círculo :$2\pi~\text{radii}$

$1~\text{radian}=\frac{1~\text{turn}}{2\pi~\text{radii}}=\frac{1}{2\pi}$

Mas lembre-se de que, para o nosso modelo circular , a curva e a circunferência são a mesma coisa. Portanto, as unidades para os raios e a curva se anulam, e nós temos um radiano adimensional como esperado.

$\frac{1~\text{circumference}}{2\pi~\text{radii}}=\frac{X\require{cancel} \cancel{Unit}}{Y\require{cancel} \cancel{Unit}}=\frac{X}{Y}=\frac{1}{2\pi}$

O que tudo isso significa, Basil?

Acontece que os radianos costumam ser muito mais convenientes de usar do que voltas e / ou ciclos . Aqui estão alguns exemplos:

• Como entendemos como radianos e curvas estão relacionados, podemos intuir muito do restante da geometria sem precisar memorizar fórmulas. Um exemplo é a fórmula do comprimento do arco:

  $L_{arc}=\theta\cdot radius$ , onde está em radianos.$\theta$

  De onde vem essa fórmula? É simplesmente um resultado da definição de um radiano. Observar:

  $1~\text{radian}=\frac{1~\text{turn}}{2\pi~\text{radii}}=\frac{1}{2\pi}$

  O comprimento do arco é uma parte de um giro total, ou . Assim:$L_{arc}$$Decimal\cdot\text{turns}$

• Outro conjunto muito útil de ferramentas que obtemos gratuitamente em virtude da escolha de um círculo como nosso modelo é todo o campo da trigonometria. As relações trigonométricas são quase sempre expressas usando radianos, graus ou às vezes gradianos. No entanto, de acordo com o acima exposto, você poderia facilmente usar voltas do círculo em vez de radianos. Por exemplo, a equação para é:$\text{sin}$

  $\text{sin}~\theta=\frac{opposite}{hypotenuse}$

  Se fizermos , então:$\theta=\frac{1}{4}\text{turn}$

  $\text{sin}~1~quarter~turn=\frac{1~radius}{1~radius}=1.0$

  

  Mas se você quiser usar uma calculadora, a calculadora não sabe sobre voltas . Ele sabe sobre radianos e graus. Mas de cima nós sabemos que 1 turno é radianos, então um quarto de volta é apenas radianos, ou radianos.$2\pi$$\frac{2\pi}{4}$$\frac{\pi}{2}$

De volta à Terra

Começamos com a Terra girando em torno do sol. Podemos fazer algo interessante relacionando o modelo do círculo, os radianos e as estações juntos? Na verdade nós podemos.

Sabemos que a rotação da Terra é inclinada em um eixo de cerca de 23,5 graus da vertical (em relação ao sol), que é:

$23.5/1~\text{turn}=23.5/360=0.0653~\text{radians}$

Também sabemos que esta inclinação está no máximo nos solstícios; o hemisfério sul da Terra está apontado para o Sol em 21 de dezembro, e o hemisfério norte apontou para o Sol em 21 de julho. O ângulo em relação ao Sol é zero nos equinócios: 20 de março e 22 de setembro.

Podemos aproximar a inclinação em alguma data arbitrária? Podemos facilmente fazer isso usando nosso modelo de círculo. Que tal no aniversário de George Washington: 22 de fevereiro.

Podemos verificar usando a geometria que a inclinação relativa do eixo varia com o cosseno do ângulo da posição da Terra ao redor do Sol, começando com a posição 0 no solstício de inverno:

1. Inverno: = 0 voltas 23,5 graus de inclinação$\theta$$\Rightarrow$$\Rightarrow \text{cos}~\theta=1.0$
2. Primavera: = 0,25 voltas 0 graus de inclinação$\theta$$\Rightarrow$$\Rightarrow \text{cos}~\theta=0.0$
3. Verão: = 0.5 voltas 23.5 graus tilt$\theta$$\Rightarrow$$\Rightarrow \text{cos}~\theta=1.0$
4. Primavera: = 0.75 voltas 0 graus inclinação$\theta$$\Rightarrow$$\Rightarrow \text{cos}~\theta=0.0$

Começando no solstício de inverno, quantas voltas estamos no dia 22 de fevereiro?

$(Jan~1-Dec~21)=9~days$

$(Feb~1-Jan~1)=31~days$

$Feb~22=22~days$

$Total=62~days$

Quantas voltas é essa?

$62/365.2425=0.16975~\text{turns}$

Nós precisaremos converter para radianos para usar uma calculadora. Então, qual é a porção aproximada da viagem de 1 ano que foi percorrida a partir da posição inicial medida em radianos?

$0.16975~\text{turns}=0.16975\cdot 2\pi~\text{radians}=1.0666~\text{radians}$

Como mostrado acima, o cosseno varia de 1,0 na posição 0 (23,5 graus de inclinação) a 0,0 no primeiro quarto de volta (0 graus de inclinação). Assim:

$Tilt_{Feb~22}≈\text{cos}(1.0666~\text{radians})\cdot 23.5~\text{deg}=11.35~\text{deg}$

Isso é aproximado porque usamos um círculo para modelar a mudança na inclinação ao longo do tempo. No entanto, na realidade, a velocidade da Terra ao redor do sol não é constante, então isso é apenas uma estimativa. Nosso modelo de círculo é apenas uma aproximação da realidade.

Radianos são uma unidade fundamental de medida, assim como metros, gramas, segundos, amperes, Kelvin, candela, steradian e mol.

• O medidor é a unidade fundamental para o comprimento
• Gram é a unidade fundamental para massa (quilos em unidades SI)
• Em segundo lugar é a unidade fundamental para o tempo
• Ampere é a unidade fundamental para corrente elétrica
• Kelvin é a unidade fundamental para a temperatura
• Candela é a unidade fundamental para intensidade luminosa
• Mol é a unidade fundamental para a quantidade de substância
• Steradian é a unidade fundamental para ângulos sólidos
• Radianos é a unidade fundamental para os ângulos do avião.

Sim. Radian é uma quantidade adimensional. Uma maneira simples de provar isso é usar a relação entre ângulo, raio e comprimento do arco.

Claramente, o ângulo em radianos deve ser adimensional, caso contrário, essa equação básica não faria sentido.