Fonte para a aprendizagem Derivada funcional, derivada de Gateaux

Comecei a pesquisar sobre a teoria do controle ideal. Minha área de pesquisa é a otimização restrita do PDE.

Estou enfrentando uma dificuldade significativa na derivação da derivada de Gateaux dos funcionais necessários para a otimização.

Por exemplo, tenho que descobrir , onde é um tensor constitutivo de 4ª ordem e é um tensor de tensão de 2ª ordem. O operador é o operador do produto de ponto duplo.$U(\sigma,u,w;C) = 1/2 \int (\sigma - C:\epsilon[u]):{C}^{-1}:(\sigma - C:\epsilon[u]))$$C$$\sigma$$:$

Como posso calcular a derivada de em relação a ?? Eu tentei expandir isso usando a notação de índice. Mas isso tornou a tarefa muito difícil.$U$$\sigma$

Você poderia fornecer uma fonte onde eu possa me expor a esse tipo de matemática?

Obrigado.